无穷个无穷小的乘积是无穷小吗？

无穷小是分析学中的重要概念，在十七、十八世纪微积分诞生初期，数学家们对无穷小的观点各持己见，无穷小究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。

我们现在都接受了无穷小「并非固定的量，而是变化的量」的观点，并建立在极限的基础上，这要得力于十九世纪阿贝尔、柯西、魏尔斯特拉斯等人的工作。

「无穷小的定义」
设{an}是一个序列，若n→∞时有an→0，则称序列{an}为无穷小。

并且我们还可以证明（证明方法可以参考同济版高等数学第六版第一章第五节）：

有限个无穷小的乘积是无穷小。

那么问题来了，对于无穷个无穷小乘积，还是无穷小吗？答案是否定的！接受这样的事实似乎有些困难，既然有限个无穷小的乘积都已经为无穷小的话，天啦撸，难道无穷个乘积不应该更为无穷小吗？？

请看下面的反例：
定义这样一组无穷小序列{ank}