16 基本查找算法：二分查找算法

二分查找算法

原理

二分查找算法也叫折半法查找法，要求待查找的列表必须是按关键字大小有序排列的顺序表。
查找过程如下所示：
（1）将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等则表示查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表。
（2）如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一个子表，否则查找后一个子表。
（3）重复以上过程，一直到找到满足条件的记录为止时表明查找成功。
（4）如果最终子表不存在，则表明查找不成功。

性能分析

接下来用平均查找长度来分析二分查找算法的性能，我们可以使用一个被称为判定树的二叉树来描述二分查找过程。首先验证树中的每一个节点对应表中的一个记录，但是节点值不是用来记录关键字的，而是用于记录在表中的位置序号的。根节点对应当前区间的中间记录，左子树对应前一个子表，右子树对应后一个子表。当折半查找成功时，关键字的比较次数不会超过判定树的深度。因为判定树的叶节点和所在层次的差是1，所以n个节点的判定树的深度与n个节点的完全二叉树的深度相等，都是(log2 n)+1。这样，折半查找成功时，关键字比较次数最多不超过(log2 n)+1。相应地，当折半查找失败时，其整个过程对应判定树中从根节点到某个含空指针的节点的路径。所以当折半查找成功时，关键字比较次数也不会超过判定树的深度(log2 n)+1。可以假设表的长n=2h -1，相应的判定树一定是深度为h的满二叉树，log2 (n+1)。在此假设将长度为n的表分成b块，每块含有s个元素，即b=n/s。又假设每个记录的查找概率相等，则折半查找成功时的平均查找长度为：

二分查找算法性能分析.png

二分查找方法具有比较次数少、查找速度快及平均性能好的优点。缺点是要求待查表为有序表，且插入、删除困难。因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。

算法实现

说明：

元素必须是有序的，如果是无序的则要先进行排序操作。

基本思想：

二分查找基于分治思想，在实现上可以使用递归或迭代，首先用给定值k先与中间结点的关键字比较，中间结点把线形表分成两个子表，若相等则查找成功；若不相等，再根据k与该中间结点关键字的比较结果确定下一步查找哪个子表，这样递归进行，直到查找到或查找结束发现表中没有这样的结点。

复杂度分析：
最坏情况下，关键词比较次数为log2(n+1)，且期望时间复杂度为O(log2n)；

注：二分查找的前提条件是需要有序表顺序存储，对于静态查找表，一次排序后不再变化，二分查找能得到不错的效率。
但对于需要频繁执行插入或删除操作的数据集来说，维护有序的排序会带来不小的工作量，那就不建议使用。

Go语言描述

最简单的版本：即序列中忽略重复元素的位置情况：

// 迭代版本
func BinarySearch1(arr []int, v int) int {
    start, end := 0, len(arr)-1
    for start <= end {
        mid := start + (end-start) / 2
        // fmt.Println("mid:",mid)
        if arr[mid] == v {
            return mid
        } else if arr[mid] > v {
            // 左边
            end = mid - 1
        } else {
            // 右边
            start = mid + 1
        }
    }

    return -1
}

// 递归版本
func BinarySearch2(arr []int, v, start, end int) int {
    if start <= end {
        mid := (start + end) / 2
        // fmt.Println("mid:",mid)
        if arr[mid] == v {
            // 找到
            return mid
        } else if arr[mid] > v {
            // 左边递归
            return BinarySearch2(arr, v, start, mid-1)
        } else {
            // 右边递归
            return BinarySearch2(arr, v, mid+1, end)
        }
    }
    return -1
}

二分查找算法的变体

以上的算法实现是没考虑重复元素的严格情况的，如需考虑重复元素且返回特定的索引，有以下变体：

变体一：查找第一个值等于给定值的元素

// 变体一：查找第一个值等于给定值的元素
func BinarySearch3(arr []int, v int) int {
    start, end := 0, len(arr)-1
    for start <= end {
        mid := start + (end-start)/2
        // fmt.Println("mid:",mid)
        if arr[mid] == v {
            if mid == 0 || arr[mid-1] != v {
                return mid
            } else {
                end = mid - 1
            }
        } else if arr[mid] > v {
            // 左边
            end = mid - 1
        } else {
            // 右边
            start = mid + 1
        }
    }

    return -1
}

变体二：查找最后一个值等于给定值的元素

// 变体二：查找最后一个值等于给定值的元素
func BinarySearch4(arr []int, v int) int {
    start, end := 0, len(arr)-1
    for start <= end {
        mid := start + (end-start)/2
        if arr[mid] == v {
            if mid == end || arr[mid+1] != v {
                return mid
            } else {
                end = mid - 1
            }
        } else if arr[mid] > v {
            // 左边
            end = mid - 1
        } else {
            // 右边
            start = mid + 1
        }
    }

    return -1
}

关于二分查找算法的局限性

二分查找的时间复杂度是O(logn)，查找数据的效率非常高。不过，并不是什么情况下都可以用二分查找，它的应用场景是有很大局限性的。那 什么情况下适合用二分查找，什么情况下不适合呢?

• 首先，二分查找依赖的是顺序表结构，简单点说就是数组。
  那二分查找能否依赖其他数据结构呢?比如链表。答案是不可以的，主要原因是二分查找算法需要按照下标随机访问元素。我们在线性表讲过，数组按照下标随机访问数据的时间复杂度是O(1)，而链表随机访问的时间复杂度是O(n)。所以，如果数据使用链表存储，二分查找的时间复杂就会变得很高。 二分查找只能用在数据是通过顺序表来存储的数据结构上。如果你的数据是通过其他数据结构存储的，则无法应用二分查找。

• 其次，二分查找针对的是有序数据。
  二分查找对这一点的要求比较苛刻，数据必须是有序的。如果数据没有序，我们需要先排序，排序的时间复杂度最低是O(nlogn)。所以，如果我们针对的是一组静态的数据，没有频繁地插入、删除，我们可以进行一次排序，多次二分查找。这样排序的成本可被均摊，二分查找的边际成本就会比较低。如果我们的数据集合有频繁的插入和删除操作，要想用二分查找，要么每次插入、删除操作之后保证数据仍然有序，要么在每次二分查找之前都先进行排 序。针对这种动态数据集合，无论哪种方法，维护有序的成本都是很高的。所以，二分查找只能用在插入、删除操作不频繁，一次排序多次查找的场景中。针对动态变化的数据集合，二分查找将不再适用。那针对动态数据集合，如何在其中快速查找某个数据呢?对于这种需求就需要特定的数据结构了，如二叉查找树就是针对这种需求的。

• 再次，数据量太小不适合二分查找。
  如果要处理的数据量很小，完全没有必要用二分查找，顺序遍历就足够了。比如我们在一个大小为10的数组中查找一个元素，不管用二分查找还是顺序遍历，查 找速度都差不多。只有数据量比较大的时候，二分查找的优势才会比较明显。
  不过，这里有一个例外。如果数据之间的比较操作非常耗时，不管数据量大小，我都推荐使用二分查找。比如，数组中存储的都是长度超过300的字符串，如此长 的两个字符串之间比对大小，就会非常耗时。我们需要尽可能地减少比较次数，而比较次数的减少会大大提高性能，这个时候二分查找就比顺序遍历更有优势。

• 最后，数据量太大也不适合二分查找。
  二分查找的底层需要依赖数组这种数据结构，而数组为了支持随机访问的特性，要求内存空间连续，对内存的要求比较苛刻。比如，我们有1GB大小的数据，如果希望用数组来存储，那就需要 的连续内存空间。 注意这里的“连续”二字，也就是说，即便有2GB的内存空间剩余，但是如果这剩余的2GB内存空间都是零散的，没有连续的1GB大小的内存空间，那照样无法申请一个1GB大小的数组。而我们的二分查找是作用在数组这种数据结构之上的，所以太大的数据用数组存储就比较吃力了，也就不能用二分查找了。