（来源：CommonLounge）
线性回归(Linear Regression)是一个简单的机器学习模型，用于解决回归问题。如：目标变量是一个实际的值。
一、问题示例
我们先从一个例子开始。假设我们有一个数据集，里面有房屋面积 （以平方英尺为单位）和价格（以千美元计）信息。我们的任务是建立一个机器学习模型，能够根据房屋面积来预测价格。下图是我们的数据集内容：
用图形来表达数据集如下：
在线性回归中，我们将一条直线“拟合”到上面的数据点。图示如下：
举例说，有人盖一栋面积为1550平方的房屋，让我们预测将来出售的价格？从下图来看，我们看到对应，
的值是200。
因此，我们预测这个房屋大概价格为$200k。
二、机器学习组成
每个机器学习的算法由三个部分组成：
1. 表示(Representation)
一个机器学习模型的表示决定了算法能学到什么（类型的）东西。在线性回归中，模型的表示就是一条直线。
2. 评价(Evaluation)
用代价函数(cost function)来对模型的优劣打分。例如：在线型回归中，表示方式可以有无限条直线。代价函数就是对每条线的优劣进行打分。“最佳路线”的代价最小。
3. 优化(Optimization)
优化就是给定一堆模型和代价函数里找到最佳模型。
这次我们先谈表示(representation)和评价(evaluation)。下次我们谈优化(梯度下降)。
三、线性回归
1. 简单线性回归
在简单线性回归(Simple Linear Regression)里，我们通过拟合一条称为回归线(regression line)的直线来建立目标变量和输入变量之间的关系。
通常，一条线可以用线性方程来表示：。其中，
是因变量(dependent variable),
是自变量(independent variable),
是斜率(slope),
是截距(intercept)。
在机器学习中，我们将方程改写为，其中
和
是模型的参数(
是偏差 bias，
是权值 weight)，
是输入，
是目标变量。
在房屋价格这个例子，输入为房屋的面积，目标变量
则为价格。
当和
的值不同，我们会看到不同的线，如下所示：
参数值的不同，模型将做出不同的预测。
例如：设，当第一个数据点
，
；则这个模型预测结果为
。当
则预测结果为
，这个结果更接近真实的结果
。
2. 多元线性回归
之前的方程可用于只有一个输入变量（也被称为特征）的情况。然后，我们通常需要处理含有多变量的数据集。比如在房屋价格模型里，我们可以加入多个特征：房间数量，房屋建成的年份等。
我们将这种多特征的模型称之为多元线性回归。参照上述简单线性回归的方程，我们可以得到多元线性回归方程如下：
是多个输入维度，针对每个维度有相应的权值
。
在多元线性回归的情况下，我们的预测不是二维空间中的直线，而是n维空间中的超平面。例如，在3D中，我们的图如下所示：
四、符号解释
总结一下目前使用到的数学符号：
= 数据点的数量
= 输入变量/特征。通常
可以是多维的：
= 输出/目标变量。我们有时用
来区分目标
和预测
= 模型的权重和偏差。在线性回归里，
的数量等于输入变量
的维度数量；
是一个标量
= 预测函数。简写成这样
，
和
是
是参数
另外，当我们讨论数据点的时候，我们会使用下面的数学符号：
= 某些数据点
= 第i个数据点
因此， 代表第一栋房屋的面积为3456平方，价格为$600k
为第i个数据点的预测结果
五、残差(Residuals)
代价函数(cost function)基于目标值和预测值的差值定义成本，也称为残差。残差的图形化表示如下图：
六、代价函数(cost function)
如果一条线远离所有的点，残差则会很大，因此代价函数的值也很大。如果一条线接近所有的点，则残差会很小，则代价函数也如此。
代价函数是在给定参数和
的情况下，衡量预测值y(x)与目标值
的接近程度。也就是说，衡量一组特定参数对预测目标值的好坏程度。
我们用于线性回归的代价函数是均方误差(mean squared error)。我们遍历所有数据点，求每个预测值和目标值
的平方误差(squared error)的平均值。
示例
继续之前的例子。第一个数据点,
。该模型的参数为
。基于此，我们计算出来的预测为
。因此，平均误差为
。
类似的，我们对所有数据点的平方误差求和，再求平均值。另外两个数据点的平均误差为和
，得出平均值为
。
类似的，我们对权值求均方误差，得到
。由于
的代价函数比
小，我们认为这组参数更好。
通过计算，我们发现权值为的误差最小，其均方误差为
。
在下一个教程，我们会介绍通过梯度下降(gradient descent)方法找到最佳的权值。
为什么要用平均误差？
可能有人会问，为什么不直接用残差之和作为我们的代价函数？为何要平方？为何要平均？
1. 平方
平方使得不论残值的大小，都会给代价函数带来更大的影响(比线性带来的影响大)。结果是回归具有更均匀的残差，异常值更少的特点。这也使得不论是或是
，残差都会使代价函数增长。
2. 平均
平均使得结果不受数据点的数量影响。简单的求合会造成结果值与数据点的数量成比例，求平均则不存在这个问题。平均也使得数据集之间的对比更容易，使得在不同问题空间中执行回归时结果更有意义。
七、用梯度下降(Gradient Descent)来优化
每个权重向量的值都会有对应的代价
。我们要找到代价最小的权值。图形化如下：
注：图中之所以用"全局(global)”是因为代价函数回归线是一条曲线。曲线有唯一的最小值（最小值的所有方向点都是平滑增长的）
给定一个线性回归模型和代价函数，我们可以用梯度下降(Gradient Descent)方法来寻找最佳的一组权重向量值。这个寻找最佳模型的过程就叫做优化(optimaization)。
八、总结
1. 在简单线性回归里，我们通过拟合一条直线，即回归线，来建立目标变量和输入变量的关系。
2. 在机器学习里，我们通常将线性回归线表达为一个方程：，其中
和
是这个模型的参数，
是输入，
是目标变量。
3. 是多元线性回归模型，其特征为
。
4. 我们用均方误差(mean squared error)代价函数来评价一个模型的好坏。代价最小，模型越好。
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