伯努利不等式

伯努利不等式

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-10-17 23:53 被阅读0次

伯努利不等式

$(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\geqslant1+x_1+x_2+\cdots+x_n,$
其中， $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 是符号相同且大于 $-1$ 的数.

证明：
思路是用数学归纳法.
当 $n=1$ 时，等号成立.
设 $n=k$ 时，不等式成立，有：
$(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_k)\geqslant1+x_1+x_2+\cdots+x_k,$
对于 $n=k+1$ 时，有：
$\begin{aligned} &(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_k)(1+x_{k+1})\\ \geqslant&(1+x_1+x_2+\cdots+x_k)(1+x_{k+1})\\ =&(1+x_1+x_2+\cdots+x_k+x_{k+1})+(x_1x_{k+1}+x_2x_{k+1}+\cdots+x_kx_{k+1}) \end{aligned}$
又有 $x_ix_j\geqslant0$ ，所以：
$(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_{k+1})\geqslant1+x_1+x_2+\cdots+x_{k+1}$
所以对于 $n=k+1$ 时，不等式也成立.
因此对于任意整数 $n$ ，都有不等式：
$(1+x_1)(1+x_2)\cdots(1+x_n)\geqslant1+x_1+x_2+\cdots+x_n.$

常用

当 $x_i=x>-1$ 时，都有不等式
$(1+x)^n\geqslant1+nx$
成立.

相关文章

网友评论

本文标题：伯努利不等式

本文链接：https://www.haomeiwen.com/subject/atocuctx.html

延伸阅读

深度阅读

您也可以注册成为美文阅读网的作者，发表您的原创作品、分享您的心情！

栏目导航

热点阅读

关于我们|服务条款|联系我们|伯努利不等式|投稿指南|网站地图|RSS订阅|排版工具|手机版

提供经典美文摘抄,优美散文欣赏,现代诗歌精选,短篇小说,心情随笔,表白情书范文,故事会在线阅读欣赏

Copyright © 2014-2023 Haomeiwen.com All Rights Reserved. 好美文阅读网版权所有

备案信息：桂公网安备 45052102000051号 · 桂ICP备13007215号-3

本站所收录作品、热点评论等信息部分来源互联网，目的只是为了系统归纳学习和传递资讯

所有作品版权归原创作者所有，与本站立场无关，如不慎侵犯了你的权益，请联系我们告知，我们将做删除处理！