1. 向量的数量积（内积）

定义：

性质：

坐标表达式：

2. 向量的向量积（外积）

定义：

性质：

坐标表达式：

3. 向量的混合积

定义：

性质：

坐标表达式：

4. 向量组的线性相关性（重要）

线性组合：

线性表示的充要条件：

线性相关：

线性相关的一组向量中：某一向量一定可以被其余的线性无关的量唯一表示：
部分向量线性相关，整体向量必然线性相关；整体向量组线性无关部分向量组必然线性无关： n维向量组线性无关，n+1维向量必然线性无关；n+1维向量组线性相关，n维向量线性相关

5. 向量组的秩

向量组的等价：

极大线性无关组：

向量组的秩：反映向量组线性相关性本质的量

矩阵的行向量秩=矩阵的列向量秩=矩阵的秩，矩阵的秩和向量组的秩是一种等价形式。只不过二者反应的对象不同。

• 矩阵的秩反应其k阶子式最高阶数。
• 向量的秩反应极大线性无关组元素的个数.

6. 向量空间的基和维数

过渡矩阵和基变换公式：

7. 向量空间的正交性

向量正交的定义

向量之间的内积为0，即点积为0，

正交基：

设是的一个基，如果它们两两正交，则称其为的一个正交基。如果每个向量都是单位向量，则称为标准正交基。

求标准正交基的方法：施密特方法

任意的线性无关向量组都可以找到一个标准正交基，这种方法叫做施密特正交化方法。具体而言，根据正交的性质，向量的内积为0，以此作为条件，解方程，得到标准正交基。

正交矩阵：

如果阶矩阵满足，则为正交矩阵。阶实矩阵是正交矩阵的充要条件是的列向量组是的一个标准正交基。