一个教科书没提到的积分求解办法

作者: 艾辛图 | 来源:发表于2020-09-24 09:45 被阅读0次

有学过微积分的读者，不妨先尝试求下面这个定积分：

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x } }{\sqrt{\sin x }+\sqrt{\cos x}} dx$

或许很快就会发现，微积分教科书里面提到的几个积分求解办法，包括换元法（Substitution），分部积分法（Integration by parts）或者部分分式法（Integration by partial fraction）均不能求得上面定积分。这道题实际上是几年前印度理工学院入学考试JEE Advanced的题目之一。该考试的难度甚高，能通过考试并获得录取的学生只有1%不到！！

回到上面积分。这里引入一个读者或许没见过的积分公式：

$\int_{a}^{b} \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx =\frac{b-a }{2}$

这个公式很漂亮，首先被积函数里面是由f(x)和其变换后的f(a+b-x)组成的分式。另外，其结果刚好是上限b与下限a之差的一半。利用这个公式来解原来的积分，就变得十分简单。

首先，令 $f(x) = \sqrt{\sin x } , a=0, b=\frac{\pi}{2}$ 。

于是 $f(a+b-x)=\sqrt{\sin (0 + \frac{\pi}{2} - x)} = \sqrt{\sin ( \frac{\pi}{2} - x)} =\sqrt{\cos x }$

(不记得三角函数余角恒等式的读者自己反省一下)。

因此，原定积分可以写成：

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x } }{\sqrt{\sin x }+\sqrt{\cos x } } dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{f(x) + f(0+ \frac{\pi}{2}-x)} dx$