一个教科书没提到的积分求解办法

作者: 艾辛图 | 来源:发表于2020-09-24 09:45 被阅读0次

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有学过微积分的读者，不妨先尝试求下面这个定积分：

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x } }{\sqrt{\sin x }+\sqrt{\cos x}} dx$

或许很快就会发现，微积分教科书里面提到的几个积分求解办法，包括换元法（Substitution），分部积分法（Integration by parts）或者部分分式法（Integration by partial fraction）均不能求得上面定积分。这道题实际上是几年前印度理工学院入学考试JEE Advanced的题目之一。该考试的难度甚高，能通过考试并获得录取的学生只有1%不到！！

回到上面积分。这里引入一个读者或许没见过的积分公式：

$\int_{a}^{b} \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx =\frac{b-a }{2}$

这个公式很漂亮，首先被积函数里面是由f(x)和其变换后的f(a+b-x)组成的分式。另外，其结果刚好是上限b与下限a之差的一半。利用这个公式来解原来的积分，就变得十分简单。

首先，令 $f(x) = \sqrt{\sin x } , a=0, b=\frac{\pi}{2}$ 。

于是 $f(a+b-x)=\sqrt{\sin (0 + \frac{\pi}{2} - x)} = \sqrt{\sin ( \frac{\pi}{2} - x)} =\sqrt{\cos x }$

(不记得三角函数余角恒等式的读者自己反省一下)。

因此，原定积分可以写成：

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sqrt{\sin x } }{\sqrt{\sin x }+\sqrt{\cos x } } dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{f(x)}{f(x) + f(0+ \frac{\pi}{2}-x)} dx$

$=\frac{\frac{\pi}{2}-0}{2} = \frac{\pi}{4}$

十分简洁！！

接下来，我们证明这个积分公式的正确性。

首先，使用换元法，令u = a + b - x。可得x = a + b - u, 以及du = -dx, 即-du = dx。

又有当x = a时，u = b；当x = b时，u = a。因此，原定积分可以换成u为变量的定积分：

$\int_{b}^{a} \frac{f(a+b - u)}{f(a + b - u) + f(u)} \cdot -du$

现在定积分的上下限颠倒了，但是与du前面的负号结合，又可以颠倒回去，于是：

$\int_{a}^{b} \frac{f(a+b - u)}{f(a + b - u) + f(u)} du$

这一步是证明中最难转过弯来的。首先我们要知道被积函数中的变量成为哑变量（Dummy Variable），它用什么字母根本没关系，因为到最后，它需要被替换成上下限，求反导数值之差。又因为上面换元后定积分的上下限与原定积分一致，即a为下限，b为上限，且a小于等于b。因此，积分值I(x):

$I(x) = \int_{a}^{b} \frac{f(a+b - u)}{f(a + b - u) + f(u)} du =\int_{a}^{b} \frac{f(a+b - x)}{f(a + b - x) + f(x)} dx$

因此，这个换元后定积分实质是原定积分的一个等价形式。于是，2I(x)等于这两个等价的定积分相加：

$2I(x) = \int_{a}^{b} \frac{f(x)}{f(x) + f(a+b-x)} dx +\int_{a}^{b} \frac{f(a+b - x)}{f(a + b - x) + f(x)} dx$

$=\int_{a}^{b} \frac{f(x) + f(a+b-x)}{f(x) + f(a+b-x)} dx =\int_{a}^{b} dx =b - a$

因此，得：

$I(x) = \frac{b-a}{2}$

证毕！

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