中学数学梳理项目-七年级上第二章

本章的数学思维

归纳

归纳利于把知识分类聚合（把看上去很多的内容缩小），例如课本中有这样的定义：

“单项式和多项式统称为整式”

而在我的定义中，整式就是多项式，而单项式就是特殊的多项式（注意这是我个人的定义，与课本违背）：

多项式是一个单项式，或者多个单项式的和（差）；
单项式是特殊的多项式，当一个多项式只由一个单项式组成时，它就是单项式。

对比这两种定义方法（如下图）：

• 课本：多项式和单项式是并列关系，然而实际上它们之间还有点类似从属关系，所以并列关系就不会那么纯粹，这样分类就有歧义；
• 我的：多项式和单项式是从属关系，多项式包含单项式，单项式是一种特殊的多项式。
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类比

类比的好处：

1. 利用对已知事物的了解，促进对新事物的认知；
2. 反过来，加深对已知事物的了解；
3. 类比有利于挖掘事物本质，统一于“万物同源”。

例如，上面关于多项式的定义，其实也是类比：

正方形和菱形都从属于长方形，它们是特殊的长方形（所以长方形的性质正方形和菱形都有，我们只需要记它们的特殊之处即可）；
两个直线的位置关系，有平行和相交，而垂直是特殊的相交（夹角为90度的相交）；
我们生活中常说“几个”，一般来说“几个”的意思是大于1个的，但我们也可以把1个当做几个的特殊情况。

本章我们的类比思维是：

挖掘并列关系中的本质，利用“A只是B的特殊情况”这样的定义表述，替换为从属关系。

分类讨论

在本章的第一个例题（题目来自课本P72-活动2）中就需要用到分类讨论，分类讨论是非常重要、非常常用的分析方法，在初中应用题、高中代数、高中函数图像中十分常用的方法。详细见"例题"。

之所以需要分类讨论（分情况讨论），是因为不同的前提会有不同的结果，例如例题中的场景：“一般来说，买的多会比买的少的便宜一些，也就是批发价小于零售价”，所以售价和数量就有关系了，所以我们就需要根据数量的多少进行分类了。

数学建模

其实数学就是解决现实问题的，现实问题和数学的枢纽就是数学模型（有数学建模比赛，价值很高）。

1. 什么是模型？
   例如小学求总价，我们用的是“单价×数量=总价”这样的简单模型。
2. 那么数学建模比赛比的是什么呢，或者说一个好的数学模型应该具备什么性质？
   越贴近现实情况的，能解决现实问题的就是好模型，正如本章的例题，单价会变化，而不是一成不变的，这样更贴近现实（批发价一般会小于零售价），所以这个模型更好。
3. 那么怎样建立一个好的模型？
   其实我不能回答这个问题，我只能说，随着我们学习知识的广度和深度的增加，我们解决问题的思维和方法都会在进步，例如小学我们只能求单价保持不变的情况，初中我们就会分情况讨论了，后面随着我们修炼（学习知识）、打怪升级（做题），一定会把这个模型越建越好。

利用已知的定理推导新的定理

好处就不多说了，不要死记硬背，要学会用自己已有的装备和技能，去拓展新的疆域。
例如，课本中写的去括号的方法：

如果括号外的因数是正数，...；如果是负数，...

不要死记硬背，我们来证明一下：

再强调一遍，负号相当于乘以-1（这个到了高中也是经常用到的构造技巧）。

其他-好奇心和探索精神

本章会讲的第二个例题是P67-例5（P67，Page 67）。不知道看到第一问的结果会不会让你好奇，为什么结果与a没有关系？

本章的大致内容

我画的知识网络图如下（这里为了和课本一致）：

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本章的意义

本章的意义应该是代数运算的基础，但凡是基础的就一定要认真对待，多做题：
以后一元一次方程等等（包括高中的知识），都是有未知数的参与的，现在一定要熟悉它，不要害怕它，通过多做题驯服它。

本章的具体内容

这一章的内容本身没太多需要讲的，按照课本中学习即可，以下的内容希望可以帮助你驯服未知数：

1. 类似负数的学习，，，归根结底，它们都是一个数而已；
2. 带括号的运算就看上面"利用已知的定理推导新的定理"。

例题

这里给两个例题，第一个例题是非常重要的分类讨论的分析方法，第二题我会尽量用通俗的比喻介绍一些物理知识，来解释开头的问题，同时从第一章数轴角度分析。

例题1-分类讨论

本题来自课本P72-活动2.

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首先，假设买的数量为x本，那么：

1. 
2. 

对于分类问题的关键点就是它的转折点，对于本题就是x=100，分别带进两个情况。分别得230和220，已经可以发现不一样了，所以买101本（因为必须大于100）只需要222.2元，而买100本需要230元。我们也可以计算， ，所以如果只要买101～104本，都可以比买100本划算。

总结

选择这道题不在于这道本身，而在于分清苦讨论的思想，一般我们的步骤是：

1. 写出如下的表示式
   

2. 画图（如下图所示），当然现在可能关于坐标系的知识还没学，但是一定要有这个意识，先画图，借助图像来理解；

   
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3. 对于其中的转折点（例如本题的100）,代值到两个式子中，然后观察，基本就能发现些问题，然后寻找具体原因（如果你能一眼发现当然最好，一般都是先对比发现问题，再来想办法解释原因）。

例题2-物理知识-相对静止和数轴的温习

本题来自课本P67-例5.

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数轴-两点的距离

还是用第一章的图。借助数轴，求解AC和BC距离的方法和角度（不要说你是直接看出来的，实际你大脑里是有计算的）：

1. AC：A距离0点为1，C距离0点1，所以AC距离是1+1=2，这也是课本中用的思路，甲往正方向走了(50+a)*2，乙往反方向走了(50-a)*2，所以甲乙相距为两个相加为200；
2. BC：B距离0点为4，C距离0点1，所以BC距离是4-1=3。

于是你发现不和谐的地方了吗？同样是求距离，求AC我们用减，求BC时用加，这对于数学强迫症来说这是不和谐的，数学就是要用统一的公式求解问题。所以，什么是和谐的公式呢？如下：

数轴上两点的距离就是二者相减的绝对值

有了这个公式，计算起来就很方便了，例如求：

1. AB：；
2. 求AC：；
3. 求BC：。

所以，借用这个公式，我们求解这道题的步骤为：

1. 假设甲乙出发点为0点；
2. 甲往0点的右边（正方向）走，此时甲的值为(50+a)*2
3. 乙往0点的左边走，乙的值为-(50-a)*2，注意要加负号；
4. 甲乙的距离为

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物理知识-参考系

想象一个场景：甲往0点右边以a km/h的速度走，乙往0点左边以b km/h的速度走，那么2h后甲乙的距离是多少我们怎么计算？另外，假设宇宙当中，地球之外有一个太空，看着地球，他看着甲乙的行为，他会怎么计算呢？

1. 地球上的人（也就是我们了）：很简单，用数轴的观点：；
2. 太空人：在他眼中，甲的速度为，乙的速度为，（这里我假设甲的运行方向和地球自转方向相同），所以用数轴的观点：。

然后，你可能笑太空人太蠢了，计算这么复杂，结果还不是和我们一样吗？如果真是这样，那么你想想课本中我们自己是怎样计算顺水和逆水情况下船的距离的？是不是和那个太空人一样蠢？那么原因究竟在哪儿呢？

当我们在地球上的时候，我们的参考物是地球，太空人则是以太空（假设存在）为参考物的，所以遇到例题中的问题，我们就把自己当做水中的鱼，那么甲的速度实际就是50，乙的速度也是50，所以两小时后的距离为：。

总结

1. 数轴的方法，看似比课本的复杂（多了一个负号），但实际上这样的思考有利于掌握数轴，后面你就会发现当题目变难的时候，这个方法会更简单；
2. 物理知识-参考系：点到为此，大家多思考吧，如果想不通也不太重要，可能是我表述不够好，以后你们学的课本中会有更好的例子为你讲解。