微积分学习笔记-对数

作者: LonnieQ | 来源:发表于2019-12-01 21:08 被阅读0次

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自然对数函数

$lnx = \int_1^x = \frac{1}{t} dt, x > 0$

$y = lnx$ 的导数

$\frac{d}{dx} lnx = \frac{1}{x}, x > 0$

例1 自然对数的导数

(a). $\frac{d}{dx} ln 2x = \frac{1}{2x} \frac{d}{dx}(2x) = \frac{1}{x}$
(b). $\frac{d}{dx} ln(x^2 + 3) = \frac{1}{x^2+3} \frac{d}{dx}(x^2+3) = \frac{2x}{x^2+3}$

对数法则

对任何数 a > 0 和 x > 0,

$lnax = lna + lnx$
$ln\frac{a}{x} = lna - lnx$
$lnx^n = nlnx$

$\int (1/u)du$ 的积分

如果u是从不取0值的可微函数，则
$\int \frac{1}{u}du = ln|u| + C.$

例2 求积分

$\int _0^2 \frac{2x}{x^2 - 5}$
$= \int_{-1}^{-5} \frac{1}{u}du$ $(令u = x^2 - 5, du =2xdx, u(0) = -5, u(2) = -1)$
$= [ln|u|]_{-5}^{-1} = ln|-1| - ln|-5| = -ln5$

例3 求积分

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{4cos \theta}{3 + 2sin\theta }$
$=\int_{1}^{5}\frac{2}{u} du$ ( $令u = 3 + 2sin\theta, du = 2\cos\theta , u(-\frac{\pi}{2}) = 1, u(\frac{\pi}{2} )= 5$ )
$= 2 * [ln|u|]_1^5 =2ln5$

$tan(x)$ 和 $cot(x)$ 的积分

$\int tan x = \int \frac{sin(x)}{cos(x)}dx = \int\frac{-du}{u}$
$= -ln|cos(x)| + C$
$= ln\frac{1}{cos(x)} + C = ln|sec(x)| + C$
$\int cot(x) dx = \int \frac{cos(x)}{sin(x)} dx = \int\frac{du}{u} = ln|u| + C$
$=ln|sin(x)| + C$
$=-ln|csc(x)| + C$

计算 $\int_0^{\frac{\pi}{6}}tan2xdx = \frac{1}{2} \int_0^\frac{\pi}{3} tan(u) du$
$= \frac{1}{2}[-ln|cosu|]_0^{\frac{\pi}{3}} = -\frac{1}{2}(ln\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}ln2$

对数微分法

包含乘积、商、乘幂的公式，在求导前在等式两端取自然对数，使得我们求导前利用对数法则化简公式，这一过程称为对数求导法

例5 如果 $y = \frac{(x^2+1)(x+3)^{\frac{1}{2}}}{x - 1}, x > 1,$ 求 $\frac{dy}{dx}$

$lny = ln \frac{(x^2+1)(x+3)^{\frac{1}{2}}}{x - 1}$
$= ln(x^2+1)(x+3)^{\frac{1}{2}} - ln(x - 1)$
$= ln(x^2+1) + \frac{1}{2} ln(x+3) - ln(x-1)$
则
$\frac{dlny}{dx} =\frac{1}{y}\frac{dy}{dx} = \frac{2x}{x^2+1} +\frac{1}{2(x+3)} - \frac{1}{x-1}$
$\frac{dy}{dx} = \frac{(x^2+1)(x+3)^{\frac{1}{2}}}{x - 1}(\frac{2x}{x^2+1} +\frac{1}{2(x+3)} - \frac{1}{x-1} )$

$log_au的导数$

$\frac{d}{dx}(log_au) = \frac{1}{lna} . \frac{1}{u} \frac{du}{dx}$

例6 求以a为底的对数求导

$\frac{d}{dx} log_{10}(3x+1) = \frac{1}{ln{10}} \frac{1}{3x+1 }.3$
$= \frac{3}{ln10(3x+1)}$

求 $\frac{log_2x} {x}的积分$

$\int \frac{log_2x} {x}dx$
$=$ (令 $log_2x = \frac{1}{ln2} lnx, u = lnx, du = \frac{lnx}{x}dx$ )

例7 求 $\int \frac{log_2x}{x} dx$

$\int \frac{log_2x}{x} dx$
$= \frac{1}{ln2}\int u du$ ( $令log_2x = \frac{lnx}{ln2}, u = lnx, du = \frac{1}{x} dx$ )
$= \frac{1}{2ln2} u^2 + C$
$= \frac{(lnx)^2}{2ln2}$

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