[笔记] 微积分

微积分基础

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1 连续、极限

在处连续，当无限趋近于时，无限逼近于L,则：

例:

洛必达(伯努利)法则：

处理 或者 时的极限:

2 微分与导数

极小的自变量所造成的极小的因变量变化， 的变化率即导数，导数并不是瞬时变化率，而是某点处附近(很近很近)的变化率

一些基本函数的导数：

线性函数的变化率时恒定的，同理，常数函数的变化率为0。可以理解为n维空间边长为x的“空间大小”，如正方形面积、正立方体体积....以此类推，然后从几何角度推出幂函数的导数。三角函数可以从圆几何角度推导导数。指数函数比较特殊，在每一点的导数，与其f(x)的大小成正比关系，当这个比为1时，函数的变化率等于其本身的值！！此时指数函数的底为自然对数。而对数函数为指数函数的逆函数，可以反向推导数。

导数求导基本法则:

三大微分定律：

• 罗尔中值定律

设 R 上的函数 f(x) 满足在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。

• 拉格朗日中值定律

设 R 上的函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间 (a,b) 内可导，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得

• 柯西中值定律

设 R 上的函数f(x),g(x)在[a,b]的闭区间内连续，(a,b)开区间内可导，且对于任意，，则至少存在一个使得：

罗尔中值定律、拉格朗日中值定律、柯西中值定律说的是一回事，某个函数在某个区间内连续、可导，那么这个函数在区间中必然至少存在一点，该点的导数等于该函数在该区间的平均导数。从几何上看，任意某个函数在某个区间中必然存在至少一个点，该点的切线等于将函数首尾相连形成的直线的斜率。当这个直线的斜率为0时，即罗尔中值定律。也就是说，拉格朗日中值定律时是罗尔中值定律的推广版本，而后者是前者的一个特例。而柯西中值定律是拉格朗日的推广版本，原函数的形式变成了参数函数形式，将定律右侧的df/dg=df/dx/dg/dx,即变成。

3. 偏导数

导数的含义是对于某个函数，自变量的微小变化对因变量又多大的影响，即。对于多元函数，自变量不再是单一的，这时候引入了偏导数的概念，即对于多个自变量的函数，其中一个变量在其余变量不变的情况下，其微小的变化对因变量有多大的影响。有点类似于控制变量法。例如函数在处的偏导数为:

4. 积分

伸缩求和：

伸缩求和是一个非常重要的求和方法，核心是构建一个可以相邻元素互相抵消的函数，替换原函数。

例如，求，可以从构造函数开始

积分中值定律

如果函数 f 在区间[a,b]上连续，那么在区间(a,b)内必有一点C，满足：

例如汽车在一段时间内，速度从变为，这段时间内位移为S，那么在这段时间内至少有一个时刻速度为平均速度为

微积分第一基本定律：

如果函数 阻碍区间 上连续，定义函数 为，那么 F在[a,b]上是可导函数，且

微积分第二基本定律:

如果函数 f 在[a,b]区间上连续，F是f的反导数，那么有

常用不定积分：

求不定积分的一些常见方法:

1. 换元法，核心是将dx换成dt的形式例如

2. 分部积分法

分部积分法的核心思想是

例如:

3. 部分分式，例：

泰勒公式：

泰勒公式的本质是用多项式函数去逼近光滑函数：

若函数 在x=a 处是光滑的，则f 在x=a处的最接近的多项式函数为:

例如在x=0处的近似函数为