[笔记] 微积分

作者: MatrixYe | 来源:发表于2021-01-20 19:43 被阅读0次

微积分基础

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1 连续、极限

$f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，当 $x$ 无限趋近于 $x_0$ 时， $f(x)$ 无限逼近于L,则：
$\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=L$
例:
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}=e$

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$
洛必达(伯努利)法则：

处理 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{0}{0}$ 或者 $\lim_{x \rightarrow a} \frac{\infty}{\infty}$ 时的极限:
$\lim _{x \rightarrow a} \frac{g(x)}{h(x)}=\frac{g^{\prime}(a)}{h^{\prime}(a)}$

2 微分与导数

极小的自变量 $dx$ 所造成的极小的因变量变化 $dy$ ， $dy$ $随dx$ 的变化率即导数，导数并不是瞬时变化率，而是某点处附近(很近很近)的变化率
$f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x}=\frac{f(x+d x)-f(x)}{d x}$

一些基本函数的导数：

$\begin{array}{ll} f(x)=\operatorname{ax} & f^{\prime}(x)=a \\ f(x)=a^{x} & f^{\prime}(x)=a^{x} \ln ^{a} \\ f(x)=e^{x} & f^{\prime}(x)=e^{x} \\ f(x)=x^{n} & f^{\prime}(x)=n x^{n-1} \\ f(x)=\sin (x) & f^{\prime}(x)=\cos (x) \\ f(x)=\cos (x) & f^{\prime}(x)=-\sin (x) \\ f(x)=\frac{1}{\sin x} & f^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ f(x)=\frac{1}{\cos x} & f^{\prime}(x)=\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ f(x)=\frac{1}{\tan x} & f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}} \\ f(x)=\frac{1}{\cot x} & f^{\prime}(x)=\frac{-1}{1+x^{2}}\\ f(x)=\ln x & f^{\prime}(x)=\frac{1}{x} \\ f(x)=\log _{a}^{x} & f^{\prime}(x)=\frac{1}{x \ln ^{a}}\\ \end{array}$

线性函数的变化率时恒定的，同理，常数函数的变化率为0。 $x^n$ 可以理解为n维空间边长为x的“空间大小”，如正方形面积、正立方体体积....以此类推，然后从几何角度推出幂函数的导数。三角函数可以从圆几何角度推导导数。指数函数比较特殊，在每一点的导数，与其f(x)的大小成正比关系，当这个比为1时，函数的变化率等于其本身的值！！此时指数函数的底为自然对数 $e$ 。而对数函数为指数函数的逆函数，可以反向推导数。

导数求导基本法则:

$\begin{array}{ll} f(x)=g(x)+h(x) & f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)+h^{\prime}(x) \\ f(x)=g(x) h(x) & f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x) h(x)+g(x) h^{\prime}(x) \\ f(x)=g(h(x)) & f^{\prime}(x)=g^{\prime}\left(h(x)) h^{\prime}(x)\right. \end{array}$

三大微分定律：

罗尔中值定律

设 R 上的函数 f(x) 满足在闭区间 [a,b] 上连续，在开区间 (a,b) 内可导，且f(a)=f(b)，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。
$f^{\prime}(\varepsilon)=0$

拉格朗日中值定律

设 R 上的函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续,在开区间 (a,b) 内可导，则至少存在一个 ξ∈(a,b)，使得
$f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

柯西中值定律

设 R 上的函数f(x),g(x)在[a,b]的闭区间内连续，(a,b)开区间内可导，且对于任意 $x\in (a,b)$ ， $g^{\prime}(x)\neq0$ ，则至少存在一个 $\xi \in(a,b)$ 使得：
$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}$

罗尔中值定律、拉格朗日中值定律、柯西中值定律说的是一回事，某个函数在某个区间内连续、可导，那么这个函数在区间中必然至少存在一点，该点的导数等于该函数在该区间的平均导数。从几何上看，任意某个函数在某个区间中必然存在至少一个点，该点的切线等于将函数首尾相连形成的直线的斜率。当这个直线的斜率为0时，即罗尔中值定律。也就是说，拉格朗日中值定律时是罗尔中值定律的推广版本，而后者是前者的一个特例。而柯西中值定律是拉格朗日的推广版本，原函数的形式变成了参数函数形式，将定律右侧的df/dg=df/dx/dg/dx,即变成 $\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)}$ 。

3. 偏导数

导数的含义是对于某个函数，自变量的微小变化对因变量又多大的影响，即 $\frac{df}{dx}$ 。对于多元函数，自变量不再是单一的，这时候引入了偏导数的概念，即对于多个自变量的函数，其中一个变量在其余变量不变的情况下，其微小的变化对因变量有多大的影响。有点类似于控制变量法。例如函数 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的偏导数为:
$\begin{array}{l} \left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{\left(x_{0}, y_{0}\right)}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+h, y_{2}\right)-f\left(x_{0} y_{0}\right)}{h} \\ \left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{\left(x_{0} y_{0}\right)}=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}, y_{0}+h\right)-f\left(x_{0}, y_{0}\right)}{h} \end{array}$

4. 积分

伸缩求和：

伸缩求和是一个非常重要的求和方法，核心是构建一个可以相邻元素互相抵消的函数，替换原函数。
$\sum_{i=1}^{n}f(i)=\sum_{i=1}^{n}{(g(i)-g(i-1))}=g(n)-g(0)$
例如，求 $\sum_{i=1}^{n} i^{2}$ ，可以从构造函数 $\sum_{i=1}^{n}{(i^3-(i-1)^3)}$ 开始
$\sum_{i=1}^{n}{i^2}=\frac{1}{3}(\sum_{i=1}^{n}{(i^3-(i-1)^3)}+\sum_{i=1}^{n}i-\sum_{i=1}^{n}1)=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}$

积分中值定律

如果函数 f 在区间[a,b]上连续，那么在区间(a,b)内必有一点C，满足：
$f(c)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) d x$

例如汽车在一段时间 $t$ 内，速度从 $v_0$ 变为 $v_1$ ，这段时间内位移为S，那么在这段时间内至少有一个时刻速度为平均速度为 $\frac{S}{t}$

微积分第一基本定律：

如果函数 $f$ 阻碍区间 $[a,b]$ 上连续，定义函数 $F$ 为 $F(x)=\int_a^x f(t)dt,x\in [a,b]$ ，那么 F在[a,b]上是可导函数，且 $F^{\prime}（x）=f(x)$
$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)=F^{\prime}(x)$

微积分第二基本定律:

如果函数 f 在[a,b]区间上连续，F是f的反导数，那么有
$\int_{a}^{b} f(x) dx=F(b)-F(a)=F(x)|^b_a$
常用不定积分：
$\begin{array}{l} \int x^{a} \mathrm{~d} x=\frac{x^{a+1}}{a+1}+C \quad(a \neq-1) \\ \int \frac{1}{x} \mathrm{~d} x=\ln |x|+C \\ \int \mathrm{e}^{x} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{x}+C \\ \int b^{x} \mathrm{~d} x=\frac{b^{x}}{\ln (b)}+C \\ \int \cos (x) \mathrm{d} x=\sin (x)+C \\ \int \sin (x) \mathrm{d} x=-\cos (x)+C \end{array}$

求不定积分的一些常见方法:

换元法，核心是将dx换成dt的形式例如

$\int 2 x \mathrm{e}^{x^{2}} \mathrm{~d} x=\mathrm{e}^{x^{2}}+C\\ \int x^{2} \cos \left(x^{3}\right) \mathrm{d} x=\int \cos (t) \frac{1}{3} \mathrm{~d} t=\frac{1}{3} \int \cos (t) \mathrm{d} t=\frac{1}{3} \sin (t)+C$

分部积分法

分部积分法的核心思想是
$\int u \mathrm{~d} v=u v-\int v \mathrm{~d} u$
例如:
$\int x e^{x} d x=\int x d w=x e^{x}-\int e^{x} d x=(x-1) e^{x}$

部分分式，例：

$\int \frac{x+2}{x^{2}-1} d x=\int \frac{\frac{3}{2}}{x-1} d x+\int \frac{-\frac{1}{2}}{x+1} d x=\frac{3}{2} \ln (x-1)-\frac{1}{2} \ln (x+1)$

泰勒公式：

泰勒公式的本质是用多项式函数去逼近光滑函数：

若函数 $f$ 在x=a 处是光滑的，则f 在x=a处的最接近的多项式函数为:
$P_{N}(x)=\sum_{i=0}^{n} \frac{f^{(n}(a)}{n !}(x-a)^{n}$
例如 $e^x$ 在x=0处的近似函数为
$e^x=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+...+\frac{x^n}{n!}$