二次函数

一次函数的基本形式：y=kx+b，它有它的图像，经过列表，描点，连线我们可以得到一条直线，图像是一条直线一次函数图像的特点，之后我们也推导出一次函数图像与k和b的关系。

我们知道一元二次方程的基本形式是ax²+bx+c=0(a≠0)，因此我们可以得到二次函数的公式y=ax²+bx+c，a是x²的系数所以叫它二次项系数，b是x的系数所以叫它一次项系数，c是一个常数，它就是常数项。

探究目标：1.图像开口朝上与朝下与什么有关

2.图像的对称轴在y轴上或y轴左右两边与什么有关

3. 图像与y轴的交点与什么有关

4.图像与x轴有几个交点与什么有关

5. a或c加或者减，图像怎样变化

6. 图像的上升或下降与什么因素有关

7.二次函数顶点的坐标与什么有关

首先我根据要探究的问题画出了这样几幅图：

1.

1 1

2.

2 2

3

3 3

4.

4 4

5.

5 5

根据图像1和2我们不难直接解决问题一：图像开口朝上与朝下与什么有关。

如果二次项系数a˃0，图像开口朝上。

如果二次项系数a˂0，图像开口朝下。

因为式子本身规定了a是一个不等于0的数，所以不存在a等于0的情况。

问题二：图像的对称轴在y轴上或y轴左右两边与什么有关。

根据图5很容易知道当一次项系数b等于0的时候，图像的对称轴是在y轴上的。

开始观察图1和图3的时候我就简单认为b˃0在y轴左边，b˂0在y轴右边。但是当我看到图2中b˃0可是对称轴却在右边时发现我前面的判断错了，然后继续观察几幅图，1和4中ab的符号是相同的，它的对称轴在左边；2和3中ab符号是不同的，它的对称轴在右边。

问题三：图像与y轴的交点与什么有关。

这个问题让我想到了一次函数图像与y轴的交点是与常数项有关，因此我的推测是与c的大小有关，观察图像1和4后验证了我的想法，二次函数的图像与y轴交于（0，c）点。

问题四：图像与x轴有几个交点与什么有关。

先把图像分类

图2和4是有两个交点的

图5有一个交点

图1和3是没有交点的

图2中a˂0而顶点恰好在x轴以上，也就是说顶点的纵坐标是大于零的。图4中a˃0而顶点的纵坐标是小于零的，于是当a˃0，顶点的纵坐标是大于零或a˃0，顶点的纵坐标小于零时，图像与x轴有两个交点。

图5可得顶点是在x轴上的也就是说顶点的纵坐标是等于零的时候，二次函数图像与x轴只有1个交点。

同上方推理过程，观察图像1,3可得a<0;顶点的纵坐标是小于零或a>0顶点的纵坐是大于零时，二次函数图像与X轴无交点.

当点在x轴上的时候，y的值是为0的，因此其实就是在解决ax²+bx+c=0有几个解，这个时候我们就应该运用到之前我们学习的因式分解了，更普遍的会运用到添项法。

问题五：a，c加或者减，图像怎样变化。

C决定着图像与y轴的交点，所以当c增大或者减小的时候，图像随着c的变化向上或向下平移。

问题六：图像的上升或下降与什么因素有关。

我们前面研究得知a的大小与开有方向有关，因此当a>0，y在对称轴右侧时y随x增大而增大，y在对称轴左侧时y随x减小而增大。当a<0且y在对称轴右侧时，y随x增大而减小，y在对称轴左侧时y随x减小而减小。

问题七：二次函数顶点的坐标与什么有关？？？求解！！！（度娘答案看不懂！！）