矩阵基础

我们在学习OpenGL中，总是要对各种坐标变换进行计算。计算的部分当然是和计算机最搭配，但我们也需要了解些简单的基础知识，知道怎么让计算机完成那部分计算，才能有效的完成开发需求。OpenGL库中有个Math3d的组件就可以帮助我们做到这些。

向量

三维空间中的一个点，也是一个向量。例如：(x, y, z)

• 表示一个顶点的位置（点）；
• 还表示了两个重要的值（向量）：
  • 一个方向（坐标原点到这个点坐标的一条带方向的箭头线段）；
  • 一个数量（坐标原点到这个点坐标的长度）；

三维空间中的点（向量）.png

单位向量（unit vector）：长度为1的向量叫单位向量。

表准化（normalization）：如果一个向量的长度不是单位向量，而我们将它缩放到1，就叫做标准化。

在math3d库中，使用M3DVector3f表示一个三维向量(x, y, z)，使用M3DVector4f表示一个四维向量(x, y, z, w)。典型情况下w坐标设为1.0。x、y和z值通过除以w来进行缩放，而除以1.0则本质上不改变xyz的值。

点乘

向量可以通过加减运算来进行缩放，也可以对xyz分量单独进行缩放。

两个（三分量）单位向量之间的点乘运算将得到一个标量（普通的单独数据，用来表示大小和特定量），它表示两个向量之间的夹
角。要进行这种运算，这两个向量必须为单位长度，而返回的结果将在-1.0到+1.0范围之内。这个数字实际上就是这两个向量之间夹角的余弦值。

点乘.png

我们可以使用math3d库中的函数来进行计算：

//获得两个向量之间的点乘结果
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u, const M3DVector3f v);
//获得这个角的弧度值
float m3dGetAngleBetweenVectors3(const M3DVector3f u，const M3DVector3f v);

实际点乘结果是一个在-1和+1之间的值，它代表这两个单位向量之间夹角的余弦值。通过它可以知道两个向量的相似性，利用点乘可判断一个多边形是面向摄像机还是背向摄像机。向量的点乘与它们夹角的余弦成正比，因此在聚光灯的效果计算中，可以根据点积来得到光照效果，如果点积越大，说明夹角越小，则物体离光照的轴线越近，光照越强。

叉乘

两个向量之间的叉乘结果是另外一个向量。这个向量与原来两个向量定义的平面垂直。要进行叉乘，这两个向量都不必是单元向量。

叉乘1.png

math3d库中的叉乘函数：

void m3dCrossProduct3 (M3DVector3f result, 
                       const M3DVector3f u,
                       const M3DVector3f v);

叉乘是不满足交换律的。计算是要注意顺序，V3是V2和V1叉乘的结果，如果反过来，V1和V2进行叉乘，那么V3会指向之前相反的方向。

矩阵

矩阵就是一组排列在同一行和列中的数字。一个矩阵不必是正方形的，但是矩阵中每一行(或每一列) 的元素数都必须和其他行(或列)的元素数相同。

矩阵.png

矩阵之间可以进行乘法和加法运算。也能与向量或标量相乘。

逐行遍历时叫行优先排序，逐列遍历时为列优先排序。这两种矩阵互为转置矩阵。行优先排序主要为了与编程语言契合，因为C、C++中的矩阵是按行优先进行存储的。而采用列优先排序则是与数学上大多数人的向量使用习惯保持一致， 因为在大多数数学的学科中都是使用列向量，行向量则是以列向量的转置的方式实现的，也就是说在应用上与用户保持一致。

行矩阵和列矩阵.png

矩阵的前3列的前3个元素分别表示在XYZ轴上的方向。矩阵的最后一行都为0，只有最后一个元素为1表示为列矩阵，0表示为行矩阵。

矩阵说明.png

单元矩阵

一个向量乘以一个单位矩阵结果还是这个向量。就相当于乘以1一样，没有什么变化。

单元矩阵.png

math3d库中的创建单位矩阵的函数：

void m3dLoadIdentity44(M3DMatrix44f m);

矩阵变换

• 平移（让顶点沿着某个轴或者多个轴进行平移。）

  void m3dT ranslationMatrix44(M3DMatrix44f m, float x, float y, float z);
  

• 旋转

  m3dRotationMatrix44(M3DMatrix44f m, float angle, float x, float y, float z);
  

• 缩放

  M3DMatrix44f m;
  void m3dScaleMatrix44(M3DMatrix44f m, 
                      float xScale, 
                      float yScale, 
                      float zScale);
  

• 综合多种效果需要用到矩阵相乘

  void m3dMatrixMultiply44(M3DMatrix44f product,
                         const M3DMatrix44f a, 
                         const M3DMatrix44f b);