定理1

定理 设 f 和 g是定义域为自然数集合的函数.

(1)如果 存在, 并且等于某个常数c>0, 那么 f(n) = (g(n)).

(2)如果 =0，那么f(n) = o(g(n)).

(3)如果 =+∞，那么f(n) = ω(g(n)).

证明用到,,定义

证明定理1(1)

根据极限定义，对于给定正数 ε 存在某个，

只要n ≥ ，就有

| f(n)/g(n)-c | < ε

c -ε < f(n)/g(n) < c +ε

c/2 < f(n)/g(n) < 3c/2 < 2c

对所有n≥, f(n)≤ 2cg(n), 于是 f(n)=O(g(n))；

取ε =c/2,

对所有n≥, f(n)≥(c/2)g(n),于是 f(n)=Ω(g(n)).

从而 f(n) = (g(n))

例：估计函数的阶

例1 设 f (n) = , 证明 f(n) = .

证 因为

根据定理1，有

一些重要结果

可证明：多项式函数的阶低于指数函数的阶

证 不妨设d为正整数

分子分母求导数

定理 2

定理 设函数f, g, h的定义域为自然数集合，

(1) 如果 f=O(g) 且 g=O(h)，那么 f=O(h).

(2)如果 f=Ω(g) 且 g=Ω(h)， 那么 f =Ω (h).

(3)如果 f=(g) 和 g=(h)， 那么 f =(h).

函数的阶之间的关系具有传递性

例子

按照阶从高到低排序以下函数：

h(n) = ω(f(n))，

f(n) = ω(g(n)),

g(n) = ω(t(n)),

排序

定理3

定理 假设函数f 和g的定义域为自然数集，

若对某个其它函数h, 有 f =O(h) 和 g=O(h)，

那么f + g = O(h).该性质可以推广到有限个函数.算法由有限步骤构成. 若每一步的时间复杂度函数的上界都是h(n)，那么该算法的时间复杂度函数可以写作O(h(n)).

小结

• 估计函数的阶的方法：

计算极限阶具有传递性

• 对数函数的阶低于幂函数的阶，多项式函数的阶低于指数函数的阶

• 算法的时间复杂度是各步操作时间之和，在常数步的情况下取最高阶的函数即可