背包01问题

背包01问题是一个经典的算法。

问题是这样描述的：一个背包最大容量为9kg，现在有5个物品，每个物品都有自己的重量，请问背包最后最多能装多少重量的物品。5个物品的重量分别是2,2,4,8,6

解决这个问题可以用多种算法、贪心法、回溯法、动态规划。

1. 贪心法：依次那物品，每次挑选最优的情况，这样认为最后就是得到的最优解。这样的解决思路可能会有问题，并不能保证每次都是正确的。对于这个问题是这样解决：

   第一次取重量最小的 2， 这时背包重量为2没有超过9再次挑选

   第二次取重量最小的2， 这时重量为4 没有超过9再次挑选

   第三次取重量最小的4，这时重量为8没有超过9再次挑选

   第四次取重量最小的6，这时重量为14超出重量所以最终结果为8

2. 回溯法：也是穷举法，将所有可能的组合全部拼接出来，然后取符合条件的值。这样的解决思路一定能得到最优解，但是效率可能会比较低。回溯法会用到递归，很难用语言描述清楚，在这里献上代码：

   // 回溯算法实现。注意：我把输入的变量都定义成了成员变量。
   private int maxW = Integer.MIN_VALUE; // 结果放到 maxW 中
   private int[] weight = {2，2，4，6，3};  // 物品重量
   private int n = 5; // 物品个数
   private int w = 9; // 背包承受的最大重量
   public void f(int i, int cw) { // 调用 f(0, 0)
     if (cw == w || i == n) { // cw==w 表示装满了，i==n 表示物品都考察完了
       if (cw > maxW) maxW = cw;
       return;
     }
     f(i+1, cw); // 选择不装第 i 个物品
     if (cw + weight[i] <= w) {
       f(i+1,cw + weight[i]); // 选择装第 i 个物品
     }
   }
   
   

3. 动态规划：传说中的上帝视角，可以知道每次选择的结果，并且知道下次选择的结果。实际上他跟回溯法有些类似，但是不用递归实现。对于这个问题：每个物品都有两种选择放入包中，和不放入包中，这个决策会影响第二次放置物品，然后根据第一种情况推出第二种情况的所有所有取值，再推出第三种选择，最终得到所有的情况。献上代码:

   public class OneAndTwoPackage {
       public static int WEIGHT_MAX = 20;//最大重量
       public static void main(String[] args) {
           int[] weightList = {7,2,3,6,1}; //每个物品的重量
           System.out.println(dynamicPlanOne(weightList, 5));
           System.out.println(dynamicPlanTwo(weightList, 5));
       }
       /**
        *
        * @param weightList  物品重量
        * @param num 物品个数
        * @return
        */
       public static int dynamicPlanOne(int[] weightList, int num){
           //解决这个问题的思路就是
           /**
            * 每个物品都有两种选择，后一种基于前一种的可能会有更多的选择，将所有的可能列举并记录总重量
            * 第一个 有两种可能  放 总重量为2 不放为0
            * 第二个 有三种可能 放 2,4  不放0,2 总共为0,2,4
            * 第三个  有5种可能         放 4,6,8 不放 0,2,4
            */
           boolean[][] weightFlag = new boolean[num][WEIGHT_MAX+1];//初始化所有的标记默认为false
           weightFlag[0][0] = true;
           for (int i = 0; i < num; i++) {
               //寻找上一层可能，如果是第一层则将放置该物品的下标设置为true
               //如果不是第一层，则将该层已经设置为true的下标设为true 并把值取出与上一层的位置加和设置为true
               if (0 <= i-1){
                   boolean[] preWeight = weightFlag[i-1];
                   for (int i1 = 0; i1 <= WEIGHT_MAX; i1++) {
                       if (preWeight[i1]){
                           //不放
                           weightFlag[i][i1] = true;
                           //放
                           int weight = weightList[i] + i1;
                           if (weight <= WEIGHT_MAX)
                           weightFlag[i][weight] = true;
                       }
                   }
               }else {
                   weightFlag[i][weightList[i]] = true;
               }
           }
           //最后一层，的最大值即为最大重量
               for (int j = WEIGHT_MAX; j >=0 ; j--) {
                   if (weightFlag[num-1][j]){
                      return j;
                   }
           }
           return 0;
       }
   
       /**
        * 一维数组
        * @param weightList
        * @param num
        * @return
        */
       public static int dynamicPlanTwo(int[] weightList, int num){
           boolean[] weightFlg = new boolean[WEIGHT_MAX+1];//所有重量的分层
           weightFlg[0] = true;//不放的时候为0
           for (int i = 0; i < num; i++) {
               if (i-1 < 0){ //第一层放与不放
                   weightFlg[weightList[i]] = true;
               }else{
                   //一定要从大到小计算，不然会出现重复计算的情况
                   /**
                    * 比如：第二个物品的重量为2
                    * 第一个物品不放第二个物品放则重量为2 所以将2位置设置为true
                    * 继续循环重量，现在第二个位置的值是true，+2又将4位置的重量设置为true这样是不符合道理的
                    * 倒序的话，依次往前走设置的值都在后面，遍历是向前所以不会重复
                    */
                   for (int weightMax = WEIGHT_MAX; weightMax > 0; weightMax--) {
                       if (weightFlg[weightMax]){
                           if (weightMax+weightList[i] <= WEIGHT_MAX){
                               weightFlg[weightMax+weightList[i]] = true;
                           }
                       }
                   }
               }
           }
           for (int i = weightFlg.length - 1; i >= 0; i--) {
               if (weightFlg[i]){
                   return i;
               }
           }
           return 0;
       }
   }