2019-03-08

2019-03-08

作者: 快乐的大脚aaa | 来源:发表于2019-03-11 15:57 被阅读0次

（东南大学）线性代数

矩阵，行列式， $n$ 维向量，线性方程组，特征值与特征向量，相似矩阵，二次型，线性空间与线性变换
矩阵的定义
- $\begin{bmatrix} a_{11} &a_{22}&...&a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&...&a_{2n}\\...\\a_{m1}&a_{m2}&...&a_{mn} \end{bmatrix}$
$m\times n$ 矩阵,简记为 $(a_{ij})_{m\times n}$
同型矩阵，对应行数相等，列数相等
对称矩阵：若矩阵 $A= (a_{ij})_{m\times n}$ 满足 $m=n$ 且 $a_{ij} = a_{ji}(i,j = 1,...,n)$ ,则称 $A$ 为对称矩阵。（沿着主对角先线对称）
对角矩阵： $\begin{bmatrix} \lambda_1 &0&...&0\\0&\lambda_2&...&0\\...\\0&0&...& \lambda_n \end{bmatrix}$
简记为diag $(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$
$diag(k,k,...,k)$ 数量矩阵、纯量矩阵
n阶单位矩阵，对角线上为1，其他为0，简记为： $E_n,I_n$
反对称矩阵：若矩阵 $A=(a_{ij})_{m\times n}$ 满足 $m=n$ 且 $a_{ij} =-a_{ji}(i,j =1,...,n)$ 则称A为反对称矩阵
元素全为0的矩阵为零矩阵，用 $o$ 表示，可以加上其阶数。
矩阵的加法和数乘
对应元素相乘
A的负矩阵
- 设 $A = (a_{ij})_{m\times n}$ 记为 $-A = (-a_{ij})_{m\times n}$
矩阵的数乘：数与矩阵的乘积称为矩阵的数乘
- $(ka_{ij})_{m\times n}$
矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算
矩阵乘法的定义
$A = (a_{ij})_{m\times s},B = (b_{ij})_{s\times n}$ 的乘积是一个 $m\times n$ 矩阵
$A,B$ 为同阶对角阵， $AB = BA$
矩阵乘法的性质
设k是数，A,B,C是矩阵，下列各式一端有意义，则另一端也有意义
- $(AB)C = A(BC), A(B+C) = AB+BC, (A+B)C = AC+BC, (kA)B = k(AB) = A(kB),$
方阵,对于任意的正整数k,l
- $A^kA^l = A^{k+l},(A^k)^l = A^{kl}$
- 对于任意的正整数k, $(AB)^k = A^kB^k$
当有如下二项式
- $(A+B)^n = A^n+C_{n}^1A^{n-1}B+C_{n}^2A^{n-2}B^2+...+C_{n}^{n-1}AB^{n-1}+B^n$
$A^n+\sum_{i=1}^{n-1}C_n^iA^{n-i}B^i+B^n$

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