时间：2019.8.12
老师：祁永强
内容：蚁群算法基本原理
个性：“无中生有，自圆其说”，戴准帽子（套框架），优化算法必须能用matlab仿真，狠劲，炼狱式成长，书由厚到薄（按页）由薄到厚（），撕书式成长，佯装努力结果是没有差别的，为人师在于唤人醒，“日锯其半，万日不竭”，20页最佳

感想：从原理上了解了蚁群算法，所找的一份ACATSP代码成功复现，并理解了全过程。唯独在下一个访问地点的概率计算与选择上稍有存疑，写在了最后。欢迎交流探讨观点，e-mail：03170908@cumt.edu.cn

1.概述概念

起源：意大利M.Dorigo等，通过模拟自然界蚂蚁搜索路径的行为，提出的新型模拟进化算法。
原理：蚂蚁在运动过程中，能感知信息素，指导自己的运动方向（正反馈）。信息素越多越好，为什么，因为初始时，信息素越多说明往返越多（同样时间时），即路径最短。
核心：信息素＋正反馈（所有群体算法的核心）
适用：求解TSP问题、分配问题、job-shop调度问题
优势：求解复杂优化问题（特别是离散优化问题）
比较优势：与大多数基于梯度的优化算法想比
1.无集中控制约束，不会因个别的故障影响整个问题的求解，保证鲁棒性
2.非直接信息交换，确保系统的扩展性
3.并行分布式
4.对问题定义的连续性无特殊要求
5.算法实现简单

2.蚁群算法基本思想

信息素要按一定比率挥发（避免局部最优）

每只蚂蚁的一部转移概率由图中的每条边上的两类参数决定：
1.信息素值也称信息素痕迹
2.可见度，即先验值

信息素的更新方式：
1 挥发 ：所有路径上的信息素以一定比率进行减少
2 增强 ：给蚂蚁评价，好蚂蚁加强

基于图的蚁群算法（GBAS）

3.基本蚁群算法

表示时刻蚂蚁从城市i到城市的转移概率，计算公式如下：

：信息素
: 信息素增强（启发式的体现，和距离负相关）
: 推荐1，5
信息素挥发系数：推荐0.5
信息素增强=，Q推荐1，L表示距离长度

规模和终止条件：
1 给定终止轮数
2 最优解了连续次相同
3 给定目标值

4.【进阶】收敛

马于尔科夫收敛定义，依概率收敛于1
证明收敛，才能说算法是可以实现的
蚁群算法分支：MAX-MIN蚂蚁，精英蚂蚁，蚁周算法，蚁密算法，蚁量算法

5.代码实例

蚁群算法针对TSP应用（超详细分析）
ant-colony-algorithm-for-TSP(MATLAB可直接运行代码)
原始出处：解放军信息工程大学老师
下面代码注释为本人针对上面的资料进行学习之后添加，欢迎交流。转移矩阵部分务必参考上面的公式

function [R_best,L_best,L_ave,Shortest_Route,Shortest_Length]=ACATSP(C,NC_max,m,Alpha,Beta,Rho,Q)
%%-------------------------------------------------------------------------
%% 主要符号说明
%% C n个城市的坐标，n×2的矩阵
%% NC_max 最大迭代次数
%% m 蚂蚁个数
%% Alpha 表征信息素重要程度的参数     1
%% Beta 表征启发式因子重要程度的参数  5
%% Rho 信息素蒸发系数                0.5
%% Q 信息素增加强度系数               1
%% R_best 各代最佳路线
%% L_best 各代最佳路线的长度
%%=========================================================================
 
%%第一步：变量初始化
n=size(C,1);%n表示问题的规模（城市个数）
D=zeros(n,n);%D表示完全图的赋权邻接矩阵
for i=1:n
    for j=1:n
        if i~=j
            D(i,j)=((C(i,1)-C(j,1))^2+(C(i,2)-C(j,2))^2)^0.5;
        else
            D(i,j)=eps;      %i=j时不计算，应该为0，但后面的启发因子要取倒数，用eps（浮点相对精度）表示
        end
        D(j,i)=D(i,j);   %对称矩阵
    end
end
Eta=1./D;          %Eta为启发因子，这里设为距离的倒数
Tau=ones(n,n);     %Tau为信息素矩阵
Tabu=zeros(m,n);   %存储并记录路径的生成
NC=1;               %迭代计数器，记录迭代次数
R_best=zeros(NC_max,n);       %各代最佳路线
L_best=inf.*ones(NC_max,1);   %各代最佳路线的长度，先赋值inf无穷大，后面更新
L_ave=zeros(NC_max,1);        %各代路线的平均长度
 
while NC<=NC_max        %停止条件之一：达到最大迭代次数，停止
    %%第二步：将m只蚂蚁放到n个城市上，全放完需要[m/n]轮
        Randpos=[];   %#随机存取，此处初始起点，可以固定设置
    for i=1:(ceil(m/n))
        Randpos=[Randpos,randperm(n)];%randperm产生1到n的随机序列
    end %使用这种随机分配方法可以保证初始去往各个城市的蚂蚁数量均匀，比全部随机要更好
    Tabu(:,1)=(Randpos(1,1:m))';    %取出前m个，赋给Tabu路径矩阵，即给出了m只蚂蚁的初始去往地点

    %%第三步：m只蚂蚁按概率函数选择下一座城市，对应公式中的转移矩阵
    for j=2:n     %所在城市不计算，j表示即将访问的下一座城市
        for i=1:m    
            visited=Tabu(i,1:(j-1)); %记录已访问的城市，避免重复访问
            J=zeros(1,(n-j+1));       %待访问的城市，总数n-j+1
            P=J;                      %待访问城市的选择概率分布
            Jc=1;                     %待访问的城市个数，初始为1（用于修改矩阵J时做下标）
            for k=1:n
                if isempty(find(visited==k, 1))%这里改善了寻找的性能，只要能找到一个等于K就非空
                    J(Jc)=k;
                    Jc=Jc+1;           %待访问的城市个数自加1
                end
            end                         %循环完成后将更新完待访问矩阵J
            %下面计算从当前城市visted(end)转移到待选城市k的概率分布，参照公式的分子
            %信息素的作用也仅体现在这里，计算转移矩阵概率
            for k=1:length(J)
                P(k)=(Tau(visited(end),J(k))^Alpha)*(Eta(visited(end),J(k))^Beta);
            end
            P=P/(sum(P));
            %按概率原则选取下一个城市
            Pcum=cumsum(P);     %cumsum，元素向上（或向前）累加求和
            Select=find(Pcum>=rand); %若计算的概率大于rand的就可以选择这条路线
            to_visit=J(Select(1));   %选择可选城市列表Select中的第一个作为将访问的下一个
            Tabu(i,j)=to_visit;
        end
    end

    if NC>=2
        Tabu(1,:)=R_best(NC-1,:);  
        %NC=2开始，第一只蚂蚁路径使用上一轮的最佳路线，参与下面的信息素更新
        %#所以其实上面i=1那只蚂蚁的路径推演是没必要的，可以用if去优化掉
    end

    %%第四步：记录本次迭代最佳路线
    L=zeros(m,1);     %开始距离为0，m*1的列向量
    for i=1:m
        R=Tabu(i,:);
        for j=1:(n-1)
            L(i)=L(i)+D(R(j),R(j+1));    %原距离加上第j个城市到第j+1个城市的距离
        end
        L(i)=L(i)+D(R(1),R(n));      %#一轮下来后走过的距离，此处假定了最终回到起点，可以修改
    end
    L_best(NC)=min(L);           %最佳距离取最小
    pos=find(L==L_best(NC));
    R_best(NC,:)=Tabu(pos(1),:); %此轮迭代后的最佳路线
    L_ave(NC)=mean(L);           %此轮迭代后的平均距离
    NC=NC+1;                      %迭代继续


    %%第五步：更新信息素
    Delta_Tau=zeros(n,n);        %开始时信息素增量为n*n的0矩阵
    for i=1:m
        for j=1:(n-1)
            Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+1))=Delta_Tau(Tabu(i,j),Tabu(i,j+1))+Q/L(i);          
        %此次循环在路径（i，j）上的信息素增量
        end
            Delta_Tau(Tabu(i,n),Tabu(i,1))=Delta_Tau(Tabu(i,n),Tabu(i,1))+Q/L(i);
        %#此次循环在从n会到起点上的信息素增量，对应要求，单程可删去
    end
    Tau=(1-Rho).*Tau+Delta_Tau; %考虑信息素挥发掉Rho，更新后的信息素,加上Delta
    %%第六步：路径表清零
    Tabu=zeros(m,n);             %%直到最大迭代次数
end


%%第七步：输出结果
Pos=find(L_best==min(L_best));  %找到最佳路径（非0为真）
Shortest_Route=R_best(Pos(1),:) %最大迭代次数后最佳路径
Shortest_Length=L_best(Pos(1))  %最大迭代次数后最短距离

subplot(1,2,1)                  %绘制第一个子图形
DrawRoute(C,Shortest_Route)     %画路线图的子函数
subplot(1,2,2)                  %绘制第二个子图形
plot(L_best)
hold on                         %保持图形
plot(L_ave,'r')
title('平均距离和最短距离')     %标题

function DrawRoute(C,R)
%%=========================================================================
%% DrawRoute.m
%% 画路线图的子函数
%% C Coordinate 节点坐标，由一个N×2的矩阵存储
%% R Route 路线
%%=========================================================================
N=length(R);
scatter(C(:,1),C(:,2));
hold on
plot([C(R(1),1),C(R(N),1)],[C(R(1),2),C(R(N),2)],'g')%#这里绘制了起点到终点的直连线，非循环路径可删去
hold on

for i=2:N
    plot([C(R(i-1),1),C(R(i),1)],[C(R(i-1),2),C(R(i),2)],'g')
    hold on
end
title('旅行商问题优化结果 ')

关于代码的一点说明，结合蚁群算法的原理和主要的转移概率公式，理解代码不难。上面的代码是针对完全图的回路所计算的，其中有多处可以加以改动，在注释号之后加上了#号，体现我的一点个人见解。

此外，一个困惑：上面在计算待访问城市之后，关于下一个城市的选择，使用的是向前累加，取判断大于某个随机值rand，这样体现的是轮盘赌算法吗？