2021-11-06

作者: 悟空金月饺子 | 来源:发表于2021-11-06 12:20 被阅读0次

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这次的ZGC-Joint Seminar 请了zhenbin 给我们review了一下classical and quantum chaos。自己之前也有看过一些相关的内容，这次听zhenbin来梳理一下脉络，还是受益良多。

首先我们要引入描述chaos的物理量，对于经典系统，我们可以认为chaos是phase space里Hamiltonian演化的一中行为。给定初末状态（phase space里面一个点） $\vec{q}_i,\quad \vec{q}_f$ ，我们可以定义一个演化矩阵(Jordan 矩阵) $\vec{q}_f=M(t) \vec{q}_i$ 。定义一个矩阵之后，我们能做的事就是找到它的本征值。如果某个本征值是随时间exponential变化的 $e^{\lambda t},\lambda>0$ , 那么我们会认为这个系统有混沌行为。这个系数 $\lambda$ (如果有很多e指数变化的本征值，我们选最大的那个系数)就是描述chaos的一个物理量 Lyapunov 系数。注意因为Liouville 定理：相空间体积不变， $M(t)$ 的行列式应该为1. 所以如果e指数增长的本征值，也有e指数减小的本征值，他们应该是成对出现的。

混沌系统一个很重要的特征是：Hamiltonian演化可能有很多不同的closed 轨迹。这个可以与可积系统进行一个对比，比如谐振子的只有椭圆轨道，当周期固定的时候，轨道也就几乎固定了。但是对于混沌系统，即使固定周期，closed 轨道的数目差不多是 $e^\lambda T/T$ 的数量级（这个公式可以由 the sum rule of Hannnay and Ozorio de Almeida 推出。主要用到了混沌系统的Ergodic property：几乎所有轨迹会覆盖整个可以取到的相空间。）。

另外一个描述的混沌行为的物理量是spectral form factor(sff)。在半经典的情况下，我们可以用Gutzwiller trace formula 来计算

$Z_L(iT)Z_{R}(-iT)=\sum_{a,b}\frac{1}{\sqrt{M_a-1}\sqrt{M_b-1}} e^{i (S_a-S_b)}$

这里是对所有的closed 轨迹求和。当 $T$ 很大的时候，Berry 注意到，这个求和是由diagonal 项 $a=b$ 来主导的(即 diagonal approximation)。所以我们这样近似sff
$Z_L(iT)Z_{R}(-iT)=T^2 \frac{e^{\lambda T}}{T} \frac{1}{e^{\lambda T}}\sim T$
这里的 $T^2$ 是来自于对于每一个轨道的可以选择不同的起点，第二个factor是轨道的数量，第三个factor来自Jordan 矩阵的近似。
对于混沌系统，spectral form factor 具有universal的slope （开始相干decay的部分）还有ramp (linear in T)的行为。

接下来引入量子混沌的概念。图像是operator复杂度在时间演化下的增长。粗略的想法是考虑一个单一算符的时间演化
${O}(t)=e^{-i H t} {O} e^{i H t}$
然后把右边展开成commutator，对于量子多体系统，commutator会不断引入新的算符，从这个角度来说operator的复杂度随时间增长。我们可以考虑一个很容易计算的物理量
$\langle [V(0),W(t)]\rangle$
展开后发现有些关联函数是time order的有些不是，这些out of order correlator (OTOC)也具有一些随时间e指数变化的行为，然后可以同样的定义Lyapunov parameter。