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平面曲线主单位法向量公式的证明

平面曲线主单位法向量公式的证明

作者: 壮志_凌云 | 来源:发表于2019-07-20 20:50 被阅读0次

        设平面参数曲线 \vec{r} = x \vec{i} + y \vec{j}，其中 x, y 是参数 t 的函数，s 是弧长参数，\vec{N} 是主单位法向量，证明 \vec{N} = - \frac{dy}{ds} \vec{i} + \frac{dx}{ds} \vec{j}。

证明：设 \vec{v} 是速度向量，\vec{T} 是单位切向量，则：

\vec{v} = \frac{dx}{dt} \vec{i} + \frac{dy}{dt} \vec{j}，|v| = \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2}

\vec{T} = \frac{\vec{v}}{|v|} ，\vec{N} = \frac{ d\vec{T}/ds }{ |d\vec{T}/ds| } = \frac{ d\vec{T}/dt }{ |d\vec{T}/dt| }

通过求导计算 \frac{ d\vec{T} }{ dt }  可得：

\frac{ d\vec{T} }{ dt } = ( (\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 )^{-\frac{3}{2} } ( \frac{dx}{dt} \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{d^2x}{dt^2} \frac{dy}{dt} ) ( -\frac{dy}{dt} \vec{i} + \frac{dx}{dt} \vec{j} )

| \frac{ d\vec{T} }{ dt } | = ( (\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 )^{-\frac{3}{2} } ( \frac{dx}{dt} \frac{d^2y}{dt^2} - \frac{d^2x}{dt^2} \frac{dy}{dt} ) |v|

由 \frac{ d\vec{T} }{ dt }  的计算结果可得：

\vec{N} = |v|^{-1} ( -\frac{dy}{dt} \vec{i} + \frac{dx}{dt} \vec{j} ) = ( -\frac{dy}{ds} \vec{i} + \frac{dx}{ds} \vec{j} )

证明完毕。

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