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三维曲面偏导数所在直线决定的平面是曲面切面的证明

三维曲面偏导数所在直线决定的平面是曲面切面的证明

作者: 壮志_凌云 | 来源:发表于2019-03-28 20:11 被阅读5次

设二元函数 z = f(x,y)在(x_{0} ,y_{0})处可微的，f在(x_{0} ,y_{0})处沿偏导数方向的切线决定一个平面S，证明S是f在(x_{0} ,y_{0})处的切面。证明如下：

    f在(x_{0} ,y_{0})处沿偏导数方向的切线方程分别为：\begin{cases} L1: z-z_{0}=\frac{\partial f}{\partial x} (x-x_{0}) & , y = y_{0}\\ L2: z-z_{0}=\frac{\partial f}{\partial y} (y- y_{0}) & , x = x_{0}\end{cases}，其中，L1是f沿\frac{\partial f}{\partial x} 方向的切线，方向向量为\vec{v} _{1} = (x-x_{0},0,\frac{\partial f}{\partial x} (x - x_{0}))；L2是f沿\frac{\partial f}{\partial y} 方向上的切线，方向向量为\vec{v} _{2} = (0,y-y_{0},\frac{\partial f}{\partial y} (y - y_{0}))。L1和L2相交于(x_{0} ,y_{0})，故它们决定了平面S。平面S的法线\vec{n} = \vec{v}_{1} \times \vec{v}_{2} = (-\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_{0})(y-y_{0})),-\frac{\partial f}{\partial y}(x-x_{0})(y-y_{0}),(x-x_{0})(y-y_{0}))。

    考虑函数z = f(x,y)实际上是三元函数w = g(x,y,z)= f(x,y) - z的等位面，故\nabla g = (\frac{\partial f}{\partial x} ,\frac{\partial f}{\partial y} ,-1)与f正交，即\nabla g垂直于f在(x_{0} ,y_{0})处的切平面。由于\vec{n} \times \nabla g = \vec{0} ，即S过(x_{0} ,y_{0})且S的法线与切平面的法线方向相同，故S就是f在(x_{0} ,y_{0})处的切平面。

    命题证毕。

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