坐标系的概念和坐标系之间的变换

作者: 猫爸iYao | 来源:发表于2018-11-22 07:08 被阅读8次

一、坐标系的基本概念及其重要作用

坐标系是建立图形与数之间对应联系的参考系。它可以直观方便的描述图形的几何信息、大小、位置。

在计算机图形学中，从对象的建模，到在不同显示设备上显示、处理图形时会使用一系列的坐标系。例如：在屏幕上，会使用像素构成的二维坐标系来表示图形的像素值。

显示屏上的像素坐标系.png

对于一个给定的场景，我们通常并不是按照像素坐标来考虑。我们要考虑屏幕适配、组件复用、软件跨平台等等一系列工程化问题。因此，我们希望将程序中用于描述对象几何信息（形状，拓扑结构）的数值，和那些用于描述对象中大小和位置的数值区分开来。

前者通常被看作一个建模（moduling）的任务，后者是一个观察（viewing）的任务。

例如，教室里一张桌子，我们需要从不同距离和角度去描绘，并显示到屏幕。针对这个问题，我们当然可以把每次“建模-观察”的结果一一绘制到屏幕上。但是，我们需要注意到在这个过程中，桌子的几何信息客观上是固定不变的。因此，我们可以把“建模”的任务和“观察”的任务分离开来，每次绘制只需要改变观察任务的的数值即可。

当我们把“建模”与“观察”分开后，产生一个新的问题，即多坐标系问题。不同的坐标系具有它存在的必要性。

为了方便“建模”，我们给每一个建模任务构建一个自己的坐标系，叫做建模坐标系。同时，为了方便“观察”，我们也给每一个观察任务构建一个观察坐标系。为了完成某一次图形的显示，我们需要建立相应“建模”任务和相应“观察”任务的适当的映射关系，因此产生了世界坐标系的概念。为了使得计算机图形能够在特定的屏幕上正确显示，我们需要知道特定屏幕的屏幕坐标系，即设备坐标系。为了使得计算机图形能够在不同屏幕上正确显示，我们又定义了规范化坐标系。另外，对于一个大场景，我们可能只关注某一局部。因此，产生了裁剪坐标系。

二、计算机图形学中坐标系的分类

1. 世界坐标系（World coodinate system）

在系统（场景）中用于描述其他坐标系位置和对象模型位置的参考坐标系，被称为世界坐标系。

在我的理解中，世界坐标系是一个特定场景中全局的、绝对的公共参照系。

注意这句话，“全局的”、“绝对的”，都是在我们所关心的特定的场景中，这个特定场景很多情况下并非真实世界或者宇宙，它可能是一间房，一个虚拟的游戏世界。

2. 建模坐标系

用于描述对象的几何信息的独立于世界坐标系的参照系，叫做建模坐标系。

建模坐标系又被称为局部坐标系。一旦定义了“局部”（相对于上面提到的世界坐标系的全局）的对象，就可以很容易地将“局部”对象放入世界坐标系中，使它由局部升为全局。

3. 观察坐标系

观察坐标系主要用于从观察者的角度对整个世界坐标系中的对象进行重新定位和描述。

依据观察窗口的方向和形状在世界坐标系中定义的坐标系被称为观察坐标系。

观察坐标系用于指定图形的输出范围。

对于世界坐标系来说，观察坐标系其实是一种特殊的建模坐标系。

4. 设备坐标系

适合特定输出设备输出对象的坐标系叫做设备坐标系。比如屏幕坐标系。

在多数情况下，每一个具体的显示设备，都有一个单独的坐标系统。

5. 规范化坐标系

规范化坐标系独立于设备，能够很容易地转变为设备坐标系，是一个中间坐标系。
为使图形软件能在不同设备之间移植，采用规范化坐标系，其坐标轴取值范围是[-1, 1]或[0, 1]。

三、坐标系之间的映射变换

前面提到，对于给定的问题，我们大致分为“建模”和“观察”两个任务。对于一个给定的对象模型，我们已知它在建模坐标系下的坐标，我们如何在观察坐标系下得到该对象的定位和描述。

像这种已知对象在一个坐标系的坐标，要获得该对象在另一坐标系下的坐标，我们把这一过程叫做坐标转换。而这个过程离不开世界坐标系，因为世界坐标系决定了建模坐标系与观察坐标系的映射关系。

需要注意，坐标转换过程中，对象的实际位置和状态并未发生改变，我们仅仅是使用了不同的坐标系描述对象的位置。

例下图，在一个世界坐标系 $Oxy$ 中，一个点 $P$ 在建模坐标系 $A$ 中的坐标为 $(1, 1)$ 。现在得到观察坐标系 $B$ 中 $P$ 点的坐标。

坐标变换.png

从图中，我们可以很容易的得出，点 $P$ 在观察坐标系 $B$ 中的坐标为 $(3, 2)$ 。然而，在实际问题中，我们不可能总能通过观察得出新的坐标，这就需要通过变换计算得到。

就这个问题而言，我们需要先得到建模坐标系 $A$ 与观察坐标系 $B$ 的映射关系。

可以看到，建模坐标系 $A$ 是世界坐标系平移向量 $v_a(1, 3)$ 得到的，观察坐标系 $B$ 是世界坐标针对Y轴的镜像平移 $v_b(5, 2)$ ，得到的。因此，映射 $A \rightarrow B$ 由矩阵表示为是：
$T_{ab} = \left\{ \begin{matrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right\} \cdot \left\{ \begin{matrix} 1 & 0 & -5 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right\} \cdot \left\{ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right\} \tag1$
所以，由式 $(1)$
$P' = \left\{ \begin{matrix} -1 & 0 & 4 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right\} \cdot \left\{ \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{matrix} \right\} = \left\{ \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix} \right\}$
由此，我们可以得出一个结论，计算机中，图形的显示过程就是几何（对象）模型在不同坐标系之间的映射变换。