复杂度分析-算法学习的精髓

我们知道学习数据结构与算法主要是解决一个「快」和「省」的问题，如何让代码执行更快、如何更节省空间。那么如何来考量你的代码的执行效率呢，我们总要有一个标准，这就是我今天所讲的复杂度分析，不夸张的说，掌握好复杂度分析，数据结构与算法你就掌握了一半，所有的算法都逃不出复杂度分析的范畴。

复杂度分析包括时间复杂度和空间复杂度。

如何考量我们代码的执行效率，有的人可能会说我在计算机上跑一下不得了，简单便捷，没错，这样确实可以。但是这种方法太依赖硬件环境了，你在不同的机器上跑的时间肯定是不一样的。所以，我们需要一种不依靠测试环境，不需要测试数据的方法来估计算法的执行效率的方法。大 O 时间复杂度上场了。

大 O 复杂度表示法

直接上代码，我会带你一起来估算代码的运行时间，在实战中掌握大 O 复杂度。

int sum(int n)
{
int sum = 0;
int i = 1;
for(; i<=n; i++)
{
  sum = sum + i; 
}
return sum;
}

上面是一个计算从 1 + 2 + 3 + ··· + n 的求和，我们假设每行代码的执行时间都是一个 unit_time。我们可以看到第 3、4 行的代码都运行了 1 个 unit_time，第 6、8 行都运行了 n 个 unit_time。所以这段代码运行时间为 T(n) = (2n+2) * unit_time。即 T(n) = O(2n+2), 这就是大 O 时间复杂度表示法。当 n 趋向于无穷大时，记为 T(n) = O(n)。

大 O 时间复杂度表示法实际上并不表示代码真正的执行时间，大家也看到了，T(n)才是代码真正的执行时间，大 O 时间复杂度是表示代码执行时间随数据规模增长的变化趋势。

算法的时间复杂度采用这种数量级的形式表示后，将给分析算法的时间复杂度带来很大的方便。即对一个算法，只需分析影响该算法时间复杂度的主要部分即可，而无需对该算法的每一个语句都进行纤细的分析。

时间复杂度分析

那么问题来了，给我们一段代码，我们怎么分析它的时间复杂度呢？我有二个实操的方法可以分享给你。

1. 关注执行次数最多的一段代码

在上面那个例子中，执行次数最多的是第 6、8 行，所以总的时间复杂度就是 O(n)。

2. 关注量级最大的那段代码

看下面代码，你可以先试着分析一下，再往下翻。

int sum(int n)
{
int sum_1 = 0;
int x = 1;
for(; p< 10; p++) {
  sum_1 += p;
}

int sum_2 = 0;
int q = 1;
for(; q< n; q++) {
  sum_2 += q;
}

int sum_3 = 0;
int i = 1;
for(; i<=n; i++) {
  int j = 1;
  for(; j<=n; j++) {
    sum_3 = sum_3 + i *j;  
  }
}
  return sum_1 + sum_2+ sum_3;
}

第一段执行了 10 次，这是一个常量的执行时间，跟 n 的规模无关，就算它执行一百次、一千次，它也是常量级的执行时间。所以为 O(1)。

第二段和第三段代码分别为 O(n)、O(n²)，这对你应该不是很难。所以我们只关注量级最大的代码的时间复杂度，即 O(n²)。

大 O 表示法有乘法法则和加法法则，非常好理解，乘法法则实际上就是嵌套循环。相信你已经懂了时间复杂度的大 O 分析法了。
下面我介绍一些常见的时间复杂度分析实例。

（敲黑板，划重点了，拿小本本记下）

1. O(1)

O(1) 常量级时间复杂度

int x = 1; 
int y = 2;
int sum = x + y;

1. O(logn)

i = 1;
while( i <= n)
{
  i = i * 2;
}

代码的执行次数为 x = log₂n，即求解方程 2^x = n。

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复杂度分析并不难，关键在于多练（感觉）。只要跟着我的思路学习、练习，很快，你看到代码，简单的你能一眼看出复杂度，难的你也不会畏惧，分析一下就出来了。

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