担保模型

作者: 離塵真心 | 来源:发表于2019-03-08 13:27 被阅读0次

担保模型
会计中级备考日志
债券担保相关问题大梳理——（一）担保方式及担保公司名单
作为担保人，你知道自己的担保期限是多久吗？
关于创业担保贷款的几个问题
2Z201000 建设工程基本法律知识--70建设工程担保制度-
独立保函与保证的区别
【58新媒体担保】公众号担保交易应该注意哪些问题？
民法典——混合担保与共同抵押
什么是信用贷款？申请信用贷款需要什么条件？

一、问题的提出

如何量化地比较不同担保公司的担保实力？可以考有一个思路是，算一算假定后续不再新增担保的情况下，担保公司破产的概率是多少。当然，此处的破产不

问题1：简化的担保模型

某担保公司以自有资金 $Z$ 元开展担保业务，对外有 $n$ 笔担保，每笔担保额 $X_i$ 占总担保额 $X$ 的百分比分别是 $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ ，有 $\sum_{i=1}^n{x_i}=1$ ， $0<x_i \le 1$ ，且 $X>Z$ 。每一笔担保要履行担保义务（即代偿）的概率都是 $p$ ，且相互独立，所有担保同时到期，定义“担保到期时需要代偿的金额超过自有资金”为担保公司破产。求该担保公司破产的概率 $p_b$ 。

问题2：重庆兴农融资担保集团披露格式

将问题1中的相应条件改为：

每笔担保额占比为 $x_1,x_2……x_n$ ，其中 $x_1\ge x_2 \ge …… \ge x_n$ 。只有前 $m$ 笔的担保金额已知，其余 $x_i$ 未知。在保余额 $X$ 已知，且 $M>Z$ ，即已知 $x \cdot \sum_{i=1}^{n}{x_i}={X}>Z$ 。

将所问的问题改为：

记 $p_b(x_{m+1},…,x_n)$ 为给定 $x_{m+1},…,x_n$ 的值时，担保公司无法完全履行担保义务的概率。根据担保中笔数 $n$ 是否已知，分情况求 $p_b(x_{m+1},…,x_{n})$ 的最大值和最小值，并给出当 $x_{m+1},…,x_n$ 满足什么条件时， $p_b$ 可以取到最大值，最小值（或趋近于上下确界）。

问题3：瀚华金控股份有限公司披露格式

将问题1中的相应条件改为：

将每一笔担保额按区间进行统计，得到：

单笔金额占比（元）	担保余额（元）
$(a_0,a_1]$ ，其中 $a_0=0$	$y_0$
$\cdots$	$\cdots$
$(a_{k-1},a_k]$	$y_{k-1}$
$\cdots$	$\cdots$
$(a_{N-1},a_N]$	$y_{N-1}$
$(a_N,+\infty)$	$y_N$

该表中所有的量均已知，但是具体每一笔担保金额的占比 $x_1,x_2……x_n$ 未知，总担保笔数 $n$ 未知。

记 $p_b(x_{1},…,x_n)$ 为给定满足上表的 $x_{1},…,x_n$ 的值时，担保公司无法完全履行担保义务的概率。求 $p_b(x_{1},…,x_{n})$ 的最大值和最小值，并给出当 $x_{1},…,x_n$ 满足什么条件时， $p_b$ 可以取到最大值，最小值（或趋近于上下确界）。

问题4：123混合披露格式+多类违约率

实际中，担保公司的担保业务类型可能不止一种，比如可分为融资担保、非融资担保；融资担保中，又可分为小额的贷款担保、大额的债券担保。每一块业务的披露格式可能不同，每一块业务的代偿率可能不同。假定所有担保之间相互独立，求担保公司整体的破产概率。

二、解答

问题1的解答

解答1：精确解

出现代偿共有 $2^n$ 种情形，代偿金额可以描述为： $\sum^n_{i=1}{x_i I_i}$ ，其中 $I_i$ 是随机变量， $I_i=1$ 时代表 $x_i$ 这笔担保发生代偿， $I_i=0$ 时代表该笔担保未发生代偿。

$I_i$ 的分布律如下表

$I_i$	$I_i=0$	$I_i=1$
$P$	$1-p$	$p$

则所求即为：事件 $x \cdot \sum^n_{i=1}{x_i}{I_i} > Z$ 的概率

解法如下：

将每种代偿的情况列出
计算每种代偿金额的和，其中记 $N$ 为实际代偿笔数
将代偿金额超过 $Z$ 的情况对应的发生概率 $p^N(1-p)^{n-N}$ 求和，所得即为所求 $p_b$

例： $Z=3$ ， $x \cdot (x_1,x_2,x_3)=(3,2,1)$

$\sum{x_i}{I_i}$	$P(x \cdot \sum{x_i}{I_i})$	$x\sum{x_i}{I_i}>Z$
0	$(1-p)^3$	$\times$
3	$p(1-p)^2$	$\times$
2	$p(1-p)^2$	$\times$
1	$p(1-p)^2$	$\times$
3+2	$p^2(1-p)$	$\checkmark$
3+1	$p^2(1-p)$	$\checkmark$
2+1	$p^2(1-p)$	$\times$
3+2+1	$p^3$	$\checkmark$

故所求 $p_b=p^2(1-p)+p^2(1-p)+p^3=p^2(2(1-p)+p)=p^2(2-p)$

一般地，所求 $p_b = \sum_{N=1}^n{c_Np^N(1-p)^{n-N}}$ ，是关于 $p$ 的一个多项式。其中 $c_N$ 是指出现 $N$ 笔代偿时，有 $c_N$ 个情形使得担保公司破产。因此有 $0 \le c_N \le \binom{n}{N}$

解答2：当担保笔数n很大时的近似解

加条件： $0 < \underline{X} \leq X_i \leq \overline{X} < \infty(\forall{i})$ ，即：

担保额须高于某一金额 $\underline{X}$
担保额不超过某一金额 $\overline{X}$

套用Lyapunov中心极限定理

设 $\{X_1, X_2, …\}$ 为一列相互独立的随机变量，各自的期望 $\mu_i$ 、方差 $\sigma^2_i$ 有限。定义

$s_n^2=\sum_{i=1}^n{\sigma^2_i}$

如果存在 $\delta>0$ ，满足以下的Lyapunov条件：
$\lim_{n \to \infty}{\frac{1}{s_n^{2+\delta}} \sum_{i=1}^n{\mathrm{E}\left[ |X_i-\mu_i|^{2+\delta} \right]}}=0$
则当 $n \to \infty$ 时， $\frac{X_i-\mu_i}{s_n}$ 的和依分布收敛到标准正态分布，即：
$\frac{1}{s_n}\sum_{i=1}^n{(X_i-\mu_i)} \xrightarrow{d}N(0,1)$

求解答1中构造的 $\sum_{i=1}^n x_iI_i$ 这个随机变量的近似分布。

每个单项 $x_iI_i$ 的方差 $\sigma ^2_i = x_i^2p(1-p)$

则 $S_n^2 = \sum^n_{i=1}{\sigma^2_i}=p(1-p)(\sum^n_{i=1}x_i^2)$

取 $\delta=1$ ，即取 $2+\delta=3$

$|{x_i}{I_i}-{x_i}p|^3$ 的分布律为：

$I_i$	0	1
$｜x_i{I_i}-x_ip｜^3$	$(x_ip)^3$	$\left[x_i(1-p) \right]^3$
$P$	$1-p$	$p$

则期望 $\mathrm{E}|x_iI_i-x_ip|^{2+1}=(x_ip)^3\cdot(1-p)+[x_i(1-p)]^3\cdot p=x_i^3\cdot[p^3(1-p)+p(1-p)^3] \triangleq x_i^3M(p)$

从而 $\sum_{i=1}^nE|x_iI_i-x_ip|^{2+1}=M(p)\cdot\sum^n_{i=1}x_i^3$

$s_n^3=\left[p(1-p)(\sum^n_{i=1}x_i^2) \right]^{\frac{3}{2}}\triangleq M'(p)\cdot (\sum^n_{i=1}x_i^2)^{\frac{3}{2}}$

检验Lyapunov条件：

$\frac{ {\sum^n_{i=1}\mathrm{E}|x_iI_i-x_ip|^{2+\delta}} }{s_n^{2+\delta}} = \frac {M(p)} {M’(p)} \frac {\sum^n_{i=1}x_i^3}{\left(\sum^n_{i=1}x_i^2 \right)^{\frac{3}{2}}}$

其中
$0 \leq \frac {\sum^n_{i=1}x_i^3}{\left(\sum^n_{i=1}x_i^2 \right)^{\frac{3}{2}}} \le \frac {\sum^n_{i=1} (\overline{X} / \underline{X})^3 \cdot (1/n)^3}{\left( \sum^n_{i=1} (\underline{X} / \overline{X})^2 \cdot (1/n)^2 \right) ^{\frac{3}{2}}}$

$= \left( \frac {\overline{X}}{\underline{X}} \right) ^6 \cdot \frac{1}{\sqrt{n}} \rightarrow 0 (n \rightarrow \infty)$

因此 $\sum x_i I_i$ 满足Lyapunov中心极限定理条件，因此有：

$\frac {1}{s_n}\cdot \sum _{i=1}^n\left(x_iI_i-x_ip\right) \xrightarrow{d} N\left(0,1\right)$

从而 $\sum ^n_{i=1}x_iI_i$ 的近似分布是 $N\left(\sum^n_{i=1}x_ip, \ \left(\sum^n_{i=1}x_i^2\right)p^2(1-p)^2\right)$

查表可求得:

$p_b=P \left( x\sum^n_{i=1}x_iI_i > Z \right) = P \left(\frac{\sum^n_{i=1}(x_iI_i-x_ip)}{s_n} > \frac{Z/x-p}{s_n} \right) = 1- \Phi \left (\frac{Z/x-p}{s_n} \right)$

问题2、3的解答

解答1：精确解（无解）

由于达到最大值时对应的未知部分 $x_{m+1},\cdots,x_m$ 的形态不确定，依赖于代偿的概率 $p$ 、自有资金 $Z$ ，因而较难解出。

例：未知部分共5笔，合计为 $x=10$ ， $x \cdot x_m=3$

情况1： $x\cdot(x_1,\cdots ,x_5)=3,3,2,1,1$

情况2： $x\cdot(x_1,\cdots ,x_5)=2,2,2,2,2$

令 $Z=5$ ，

情况1，破产概率 $p_1=p^2(1-p)^3+7 \cdot p^3(1-p)^2+5p^4(1-p)+p^5$

情况2，破产概率 $p_2=10p^3(1-p)^2+5p^4(1-p)+p^5$

$p_1-p_2=p^2(1-p)^3-3p^3(1-p)^2=p^2(1-p)^2[1-p-3p]=p^2(1-p)^2(1-4p)$

当 $p>1/4$ 时， $p_1<p_2$ ；当 $p<1/4$ 时， $p_1>p_2$ 。

取 $Z=8$ ，

情况1，破产概率 $p_1=2p^4(1-p)+p^5$

情况1，破产概率 $p_2=p^5$

因此 $p_1>p_2$ 。

取 $p=0.26>1/4$ 时， $Z$ 的取值会影响 $p_1$ 、 $p_2$ 的大小关系；

取 $Z=5$ 时， $p$ 取值会影响 $p_1$ 、 $p_2$ 的大小关系。

解答2：担保笔数 $n$ 很大时的近似解

对于问题2和问题3， $p_b= 1- \Phi \left (\frac{Z/x-p}{s_n} \right)$ 关于 $s_n$ 单调增加，因此当 $s_n$ 取最大（上确界）和最小（下确界）时， $p_b$ 可以取到最大（上确界）和最小（下确界）。可以借鉴到之前的研究《如何比较两组应收款哪一个更分散——降序比例截断样本估计分散度区间》中的一个结论：

记 $S=\sum_{i=1}^{N}{x_i^2}$ ，其中 $0 \leq x_i \leq 1$ ，且满足 $x_1 \geq x_2 \geq \cdots \geq x_N$ ， $\sum_{i=1}^N{x_i}=1$ 。其中 $x_1, \cdots ,x_n$ 已知，其余的 $x_i$ 未知， $N<n$ ， $N$ 未知。

命题1：对于某一个 $N$ ， $S$ 取最小值时，未知的部分取 $x_{n+1}=\cdots=x_N$ $=(1-\sum_{i=1}^{n}{x_i})/(N-n)$ 。令 $N \rightarrow \infty$ ，则 $S$ 在不确定 $N$ 的取值时，下确界为 $S=\sum_{i=1}^{n}{x_i^2}$

命题2： $S$ 取最大值时，比例未知部分尽量堆得更“集中”。

所谓“集中”，指：未知项中，至多有一项的占比小于已知的最后一名的占比，如：

例1：剩余未知部分的和为 $\sum_{i=n+1}^N{x_i}=0.2 \triangleq c$ ，且 $x_n=0.21$ ，则后续序列尽量往前堆，即取 $x_{n+1}=c=0.2$ $x_{n+2}=x_{n+3}=\cdots=0$ 。

例2：剩余部分比例为 $\sum_{i=n+1}^N{x_i}=0.3 \triangleq c$ ，且 $x_n=0.12$ ，则后续序列必须小于 $x_n=0.12$ ，因此持续未知序列至少有3项。取 $x_{n+1}=x_{n+2}=0.12$ ， $x_{n+3}=0.06$ ， $x_{n+4}=x_{n+5}=\cdots=0$

问题2的解答

直接利用命题1和命题2的结论即可。一般情况下不会强制规定每一笔担保占比的最小值，但是以防万一，在理论上先给予解决。

担保笔数 $n$ 已知

上确界（最大值）

$p_b$ “取”上确界时（实际上取不到），按照 $n$ 未知时求 $s_n^2$ 最大的情形代入（未知部分尽量堆得更“集中”），可解得 $p_b$ 的上确界。此时上确界取不到。

如果要求每一笔担保金额占比不小于某一比例 $\underline{x}$ ，则先令未知部分每一笔的占比为 $\underline{x}$ ，再把剩余的部分尽量堆得更“集中”。此结论可以通过将每一项 $x_i'=x_i-\underline{x}$ 来证明。求未知部分 $x_{m+1}^2+ \cdots +x_{n}^2$ 最大值，转化为：

$x_{m+1}^2+ \cdots +x_{n}^2$

$=(x_{m+1}'+\underline{x})^2+ \cdots +(x_{n}'+\underline{x})^2$

$=(n-m)\underline{x}^2+2(x_{m+1}'+\cdots +x_n')\underline{x}+{x'}_{m+1}^2+ \cdots +{x'}_{n}^2$

$=(n-m) \underline{x}^2+2 \left( 1-\sum_{i=1}^m(x_i)-(n-m)\underline{x} \right)\underline{x} +\left({x'}_{m+1}^2+ \cdots +{x'}_{n}^2 \right)$

其中前2项均为已知量，只有第3项为未知，转化为命题2中的情形。

下确界（最小值）

$p_b$ 的下确界可以取到，令未知部分每笔担保金额占比均为 $x_i=\frac{1-\sum_{i=1}^m{x_i}}{n-m} \ ,i=m+1,\cdots,n$ 即可。

担保笔数 $n$ 未知

上确界（最大值）

如果不要求每项 $x_i$ 的最小值，则直接套用命题2即可。

如果要求每项 $x_i \geq \underline{x}>0$ 有最小值，则担保笔数有上界，可以枚举所有担保笔数 $n$ 的情况，求出每个 $n$ 值的情况下的最大值（转化为担保笔数已知的情形），再求整体的最大值。

下确界（最小值）

直接套用命题1的结论即可。

问题3的解答

分别在每一区间上，套用问题2的解答。比如，问题3中的表

单笔金额占比（元）	担保余额（元）
$(a_0,a_1]$ ，其中 $a_0=0$	$y_0$
$\cdots$	$\cdots$
$(a_{k-1},a_k]$	$y_{k-1}$
$\cdots$	$\cdots$
$(a_{N-1},a_N]$	$y_{N-1}$
$(a_N,+\infty)$	$y_N$

中，

第一行这个区间，相当于不设定单项最小值、 $n$ 未知的情形。

第二行这个区间，相当于设定单项最小值、给定 $n$ 未知（区别只是这里既限定了 $n$ 的最大值，也限定了 $n$ 的最小值）的情形。

最后一行这个区间，相当于命题2中的 $c=1$ 、 $n$ 给定最大值、设定单项最小值的情形。

问题4的解答

对于问题1中的情形与问题2、3情形的混合。对于问题2、3情形的混合，根据正态分布随机变量的性质，可以卷积得到各部分代偿量的随机变量之和的正态分布。由于问题1中发生代偿的所有情形可以列出为 $A_1,A_2,\cdots,A_s$ （不太多时），因此利用全概率公式，可以计算整体的担保公司破产的概率，即
$p_b=\sum_{i=1}^s{P\left( \left. x \cdot \sum^n_{i=1}{x_i}{I_i} > Z \right| A_i \right) P\left( A_i \right)}$
如果 $A_1,A_2,\cdots,A_s$ 总共的数量太多，则可以利用Lyapunov中心极限定理进行简化计算，直接得到若干个正态随机变量。之后可以直接利用正态分布的性质进行卷积。

三、反思模型中的假设是否正确

1、每笔担保相互独立

本文认为，每笔担保相互独立，可以理解为我违约，不会拖累上别人违约；我不违约，不会让别人不违约，这就把山东互保民企的情况排除了。对于这类，可以将其加总成一笔担保，即假定他们之间的完全相关，以此保守估计担保公司破产的概率。

2、担保的债务同时到期

本文认为，假定担保的债务同时到期是对担保公司破产的一种保守估计，即不考虑担保保费及其他收入对于自有资金的补充。如果像保险精算那样估计，则现有精算理论需要知道每一笔担保的余额、期限，在对担保公司的信用评价实务中获得这样翔实的数据，是不现实的。

3、什么情况下才能叫“担保笔数很大”

建议对各个担保情形下标准化的代偿金额的正态性进行检验，如直方图观察、非参检验（如Kolmogorov检验）、参数检验（JB检验）等等。

4、代偿后损失全部的代偿金额（顾舜洁）

问：实务中的担保，有许多是有反担保、再担保转出情形的，如何纳入模型进行度量？

答：可以根据反担保物的情况，设定 $I_i$ 的所有取值不是0和1，而是反担保/再担保的回收率 $p_f$ 和1。

5、代偿概率p如何获得（顾舜洁）

问：代偿概率通常不知道

答：

可以用历史代偿率来替代。
可以固定住担保公司倒闭的概率（比如5%），反算出担保公司可以承受的最大代偿概率，以此来评价担保公司的担保实力。

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担保模型

一、问题的提出

问题1：简化的担保模型

问题2：重庆兴农融资担保集团披露格式

问题3：瀚华金控股份有限公司披露格式

问题4：123混合披露格式+多类违约率

二、解答

问题1的解答

解答1：精确解

解答2：当担保笔数n很大时的近似解

问题2、3的解答

解答1：精确解（无解）

解答2：担保笔数很大时的近似解

问题2的解答

担保笔数已知

上确界（最大值）

下确界（最小值）

担保笔数未知

上确界（最大值）

下确界（最小值）

问题3的解答

问题4的解答

三、反思模型中的假设是否正确

1、每笔担保相互独立

2、担保的债务同时到期

3、什么情况下才能叫“担保笔数很大”

4、代偿后损失全部的代偿金额（顾舜洁）

5、代偿概率p如何获得（顾舜洁）

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