数学分析理论基础20：Lagrange定理

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-05-02 08:27 被阅读12次

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Lagrange定理

Rolle中值定理

定理：若函数f满足条件： $\begin{cases}(1)f在[a,b]上连续\\(2)f在(a,b)内可导\\(3)f(a)=f(b)\end{cases}$ ,则

在(a,b)内至少存在一点 $\xi$ 使 $f'(\xi)=0$

证明：

$\because f在[a,b]上连续$

$\therefore f在[a,b]上有最大值M与最小值m$

$显然,m\le M$

$若m=M$

$则f在[a,b]上为常函数$

$结论显然成立$

$若m\lt M$

$\because f(a)=f(b)$

$\therefore M,m至少有一个在(a,b)内某点\xi处取得$

$\therefore \xi为f的极值点$

$\because f在\xi\in(a,b)处可导$

$由费马定理$

$f'(\xi)=0$

$\therefore 结论成立\qquad\mathcal{Q.E.D}$

几何意义：在每一点都可导的一段连续曲线上,若曲线的两端点高度相等,则至少存在一条水平切线

注：定理中三个条件缺一不可

例：设f为R上可导函数,证明：若方程 $f'(x)=0$ 无实根,则方程 $f(x)=0$ 至多只有一个实根

证：

$若不然,即f(x)=0有两个实根x_1,x_2$

$不妨设x_1\lt x_2$

$函数f在[x_1,x_2]上满足Rolle定理三个条件$

$\therefore \exists \xi\in(x_1,x_2)使f'(\xi)=0$

$与f'(x)\neq 0矛盾,命题得证$

Lagrange中值定理

定理：若函数f满足条件： $\begin{cases}(1)f在[a,b]上连续\\(2)f在(a,b)内可导\end{cases}$ ,则

在(a,b)内至少存在一点 $\xi$ 使 $f'(\xi)={f(b)-f(a)\over b-a}$

证明：

$作辅助函数$

$F(x)=f(x)-f(a)-{f(b)-f(a)\over b-a}(x-a)$

$显然,F(a)=F(b)=0$

$F在[a,b]上满足Rolle定理条件$

$\therefore \exists \xi\in(a,b)使得$

$F'(\xi)=f'(\xi)-{f(b)-f(a)\over b-a}=0$

$移项即得结论\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：当f(a)=f(b)时,定理的结论即为Rolle定理的结论,即Rolle定理为Lagrange定理的一个特殊情形

几何意义：在满足条件的曲线 $y=f(x)$ 上至少存在一点 $P(\xi,f(\xi))$ ,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB,证明中引入的辅助函数F(x)正是曲线 $y=f(x)$ 与直线 $AB(y=f(a)+{f(b)-f(a)\over b-a}(x-a))$ 之差

Lagrange公式

$f'(\xi)={f(b)-f(a)\over b-a}$

等价表示形式

$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$

$f(b)-f(a)=f'(a+\theta(b-a))(b-a)(0\lt \theta\lt 1)$

$f(a+h)-f(a)=f'(a+\theta h)h(0\lt \theta\lt 1)$

推论：

1.若函数f在区间I上可导,且 $f'(x)\equiv 0,x\in I$ ,则f为I上的一个常量函数

证明：

$\forall x_1,x_2\in I$

不妨设 $x_1\lt x_2$

在区间 $[x_1,x_2]$ 上应用Lagrange定理

$\exists \xi\in (x_1,x_2)\subset I$ ,使得

$f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1)=0$

即证得 $f$ 在区间 $I$ 上任意两点值相等 $\qquad\mathcal{Q.E.D}$

2.若函数 $f$ 和 $g$ 均在区间 $I$ 上可导,且 $f'(x)\equiv g'(x),x\in I$ ,则在区间 $I$ 上 $f(x)$ 与 $g(x)$ 只相差某一常数,即 $f(x)=g(x)+c$ (c为某一常数)

导数极限定理

定理：设函数 $f$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 上连续,在 $U^\circ(x_0)$ 内可导,且极限 $\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$ 存在,则 $f$ 在点 $x_0$ 可导,且 $f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)$

证明：

1. $\forall x\in U_+^\circ(x_0)$ , $f(x)$ 在 $[x_0,x]$ 上满足Lagrange定理条件

$\therefore \exists \xi\in (x_0,x)$ ,使得

${f(x)-f(x_0)\over x-x_0}=f'(\xi)$

$\because x_0\lt \xi\lt x$

$\therefore x\to x_0^+$ 时,有 $\xi\to x_0^+$

$\therefore \lim\limits_{x\to x_0^+}{f(x)-f(x_0)\over x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0^+}f'(\xi)=f'(x_0+0)$

2.同理可得 $f_-'(x_0)=f'(x_0-0)$

$\because \lim\limits_{x\to x_0}f'(x)=k$ 存在

$\therefore f'(x_0+0)=f'(x_0-0)=k$

$\therefore f'_+(x_0)=f'_-(x_0)=k$

即 $f'(x_0)=k\qquad\mathcal{Q.E.D}$

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