Hohenberg-Kohn定理(初探密度泛函不知水深浅，瑟瑟发抖中)

密度泛函理论基础是建立在P. Hohenberg和W. Kohn的关于非均匀电子气理论基础上的，可归纳为两个基本定理。

Hohenberg-Kohn两个基本定理

前提：无简并态(nondegenerate)，未计入自旋，考虑相对论效应以及基态简并

总结：粒子数密度是能量的唯一泛函

1. 确定了，就确定，进而基态确定

2. 粒子数不变的条件下,得到基态粒子数密度，也就确定了能量泛函的极小值。

3. 在不考虑external potential 的情况下，
   
   包含了未知相互作用的全部复杂性。

缺点：未计入自旋，考虑相对论效应以及基态简并

存在的问题：

• 如何确定粒子数密度,

• 如何确定动能泛函

  (前面两点有Kohn-Sham方程解决)

• 如何确定交换关联泛函（由局域密度近似[local density approximation,LDA]得到）

下面看着玩吧

• KH基本定理1：固定了，就确定，进而确定

  全同费米子系统(不计自旋)的基态能量是粒子数密度的唯一泛函，即。

  • 当固定了，就确定，进而确定；因此，多粒子系统的所有基态性质，能量，波函数以及所有算符的期待值等，都是密度函数的唯一泛函，都由密度函数唯一确定。

  • 反证法证明：

    假设，在相同的粒子数密度，如果有另一个external potential (老铁，我才是外来的人，U是他们自己人)存在，对应的哈密顿为

    1.因为粒子数密度一致，所以内在的动能和势能U相同，即
    
    2.要满足基态那么必有：
    
    同理：
    
    存在矛盾，证明可知，当固定了，就确定，进而确定。

• KH基本定理2：

  说法1：能量泛函在粒子数不变的条件下，对正确的的粒子数密度取极小值，就取得基态能量。

  说法2：在粒子数不变的条件下能量泛函，粒子数密度变分就取得基态能量。

  • 如果的得到基态函数，那么也就确定了能量泛函的极小值，并且这个极小值等于基态的能量

  • 粒子数密度是能量的唯一泛函：
    
    如果粒子数恒定，那么相当于最小时，就对应基态时的粒子数密度。

    换句话说，

    对应于正确的粒子数密度(弛豫完全后的)，其必然对应于基态。