高等数学预备知识

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• 函数

• 反函数

• 三角函数

• 反三角函数

函数

y=f(x),x∈A，称这个表达式为一个函数。而函数是如何去理解呢？其实想要理解函数也不难，我们不妨可以把f想象成一座小型加工厂，而x就是这个工厂的原材料，而y则是经过加工以后形成的成品。每一件产品y都是由x这个原材料加工而成，而且都是通过一定的规则进行加工。因此，y就是关于x的一个数值，由x的变化而确定。

但是x总不能无休止的变化，因此我们给x划定了一个范围，这个范围就叫做函数的定义域，通常用A代表。由于x是可以变化的，所以我们把x称为自变量。而y的值则是关于x的因变量，为什么叫做因变量呢？因为y的值是因为x的值变化而确定一个数值，所以y叫做因变量。而这些y的取值范围就叫做值域，通常用符号C代表。

从以上的讲解中，我们得知，函数应该具备三个条件。

• 定义域

• 值域

• 对应法则

定义域对应了x的变化范围

值域对应了y的变化范围

对应法则就是工厂的加工规则

反函数

那么既然有了函数，可以通过一个加工厂加工出来了y,那么有没有可能有另外一种情况，那就是通过逆向工程，把y的值再转换回去呢？答案是有的。而这个反向操作我们就称为原来函数的”反函数“。

反函数的数学定义如下

一般的，设y=f(x),x∈A的值域为C，若能找到一个g(y),y∈C，在每一处g(y)都等于x,那么就称”g(y),y∈C“叫做”y=f(x),x∈A的反函数，记作

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反函数的常见性质

• 反函数的定义域和值域为原函数的值域和定义域

• 反函数和原函数图像关于y=x对称

• 函数存在反函数的充分必要条件是函数在定义域上单调

• 一个函数与其反函数有相同的单调性

三角函数

• 正弦函数 y=sin(x)

• • 定义域 -∞<x<+∞

  • 值域 -1 <= y <= 1

• 余弦函数 y=cos(x)

• • 定义域 -∞<x<+∞

  • 值域 -1 <= y <= 1

• 正切函数 y=tan(x)

• • 定义域 x != π/2 + kπ

  • 值域 -∞<y<+∞

• 余切函数 y=cot(x)

• • 定义域 x != kπ

  • 值域 -∞<y<+∞

• 正割函数 y=sec(x)

• • 定义域 x != π/2 + kπ

  • 值域 |y| >= 1

• 余割函数 y=csc(x)

• • 定义域 x != kπ

  • 值域 |y| >= 1

反三角函数

• 反正弦函数 y=arcsin(x)

• • 定义域 -1<= x <= 1

  • 值域 -π/2 <= y <= π/2

• 反余弦函数 y=arccos(x)

• • 定义域 -1<= x <= 1

  • 值域 0 <= y <= π

• 反正切函数 y=arctan(x)

• • 定义域 -∞<x<+∞

  • 值域 -π/2 < y < π/2

• 反余切函数 y=arccot(x)

• • 定义域 -∞<x<+∞

  • 值域 0 < y < π

• 反正割函数 y=arcsec(x)

• • 定义域 |x| >=1

  • 值域 y != π/2 且 0<= y <=π

• 反余割函数 y=arccsc(x)

• • 定义域 |x| >= 1

  • Y != 0 且 -π/2 <= y <= π/2

三角函数公式

• sina * csca = 1

• cosa * seca = 1

• tana * cota = 1

• sin²a + cos²a = 1²

• tan²a + 1² = sec²a

• 1² + cot²a = csc²a

• sina = tana * cosa

• cos a = sina*cota

• cota = cosa * csca

• csca = cota * seca

• seca = csca * tana

• tana = seca * sina

两角和公式

• sin(a+b) = sinacosa + cosasinb

• sin(a-b) = sinaconb - cosasinb

• cos(a+b) = cosacosb - sinasinb

• cos(a-b) = cosacosb + sinasinb

二倍角公式

• sin2a = 2sinacosa

• cos2a = cos²a - sin²a = 2cos²a - 1 = 1- 2sin²a

• tan2a = 2tana/1-tan²a

和差化积公式

• sina + sinb = 2sin(a+b)/2 * cos(a-b)/2

• sina - sinb = 2cos(a+b)/2 * sin(a-b)/2

• cosa + cosb = 2cos(a+b)/2 * cos(a-b)/2

• cosa - cosb = -2sin(a+b)/2 * sin(a-b)/2

积化和差公式

• sina*cosb = 1/2[sin(a+b) + sin(a-b)]

• cosa*sinb = 1/2[sin(a+b) - sin(a-b)]

• cosa*cosb=1/2[cos(a+b) + cos(a-b)]

• sina*sinb = -1/2[cos(a+b) - cos(a-b)]