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数学小知识

数学小知识

作者: 一半浮沉 | 来源:发表于2019-07-31 17:40 被阅读0次

范数

范数是一种更宽泛的长度(距离)概念,只要满足非负、自反、三角不等式就可以称之为距离。

向量范数

L1-范数(L1-Norm)

|| x ||_1 = \sum_{i=1}^{n} |x|

表示向量中各个元素(坐标值)的绝对值之和,L1范数又被称作曼哈顿距离、最小绝对误差等。使用L1范数可以衡量两个向量间的差异,如绝对误差和:
\sum_{i=1}^{n} |x_{1i} - x_{2i}|

由于L1范数的天然性质,如果把L1范数作为目标函数进行优化,其解为一个稀疏解,因此L1范数也被叫做稀疏规则算子。通过L1可以实现特征的稀疏,去掉一些没有用的特征从而降低特征的维度。

matlab调用函数norm(x, 1) 。

L2-范数

L2范数是一种最常用的范数,应用十分广泛,我们用的最多的度量距离的方式——欧式距离就是一种L2范数,定义如下:

||x||_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}x_i^2}
像L1范数一样,L2范数也可以度量两向量之间的差异,如最小均方误差。

matlab调用函数norm(x, 2)。

L^\infty-范数

它主要被用来度量向量元素的最大值,定义如下:
||x||_{\infty} = max(|x_0|,...,|x_i|,...,|x_n|)

matlab调用函数norm(x, p)。

矩阵范数

1-范数

列和范数,即所有矩阵列向量绝对值之和的最大值,matlab调用函数norm(A, 1)。
||A||_1 = \operatorname*{\,max}_j \sum_{i=1}^{N} |a_{i,j}|

2-范数

谱范数,即A'A矩阵的最大特征值的开平方。matlab调用函数norm(x, 2)。
||A||_2 = \sqrt{\lambda_1} ,\lambda < br /> 为A^T A 的最大特征值

\infty-范数

行和范数,即所有矩阵行向量绝对值之和的最大值,matlab调用函数norm(A, inf)。
||A||_\infty = \operatorname*{\,max}_i \sum_{j=1}^{N} |a_{i,j}|

F-范数

Frobenius范数,即矩阵元素绝对值的平方和再开平方,matlab调用函数norm(A, ’fro‘)。
||A||_F= \left(\sum_{i=1}^{m}\sum_{j=1}^{n}|a_(i,j)|^2 \right)^\frac{1}{2}

编辑公式好麻烦啊啊啊啊啊啊!!!!

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