伍德伯里矩阵恒等式（Woodbury matrix identi

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在数学（特别是线性代数）中，Woodbury矩阵恒等式是以Max A.Woodbury命名的，它 可以通过对原矩阵的逆进行秩k校正来计算某个矩阵的秩k校正的逆。这个公式的另一个名字是矩阵逆引理，谢尔曼-莫里森-伍德伯里（Sherman–Morrison–Woodbury formula）公式或只是伍德伯里公式。然而，在伍德伯里发现之前，这一等式出现在其他文献中。

1. 伍德伯里矩阵恒等式

其中、、 和 都表示适形尺寸的矩阵。具体来说， 的大小为 ， 为 ， 为 ， 为 。

2. 扩展

不失一般性，可用单位矩阵替换矩阵A和C：

这里, 。

这个等式本身可以看作是两个简单等式的组合，即等式

和所谓的 push-through 等式
的结合。

3. 特殊情况

当 是向量时，伍德伯里恒等式退化为谢尔曼-莫里森公式，在标量情况下，它（简化版）只是：

如果 和 是单位矩阵，那么

继续合并上述方程最右边的项，就可以得到一下恒等式：

此等式的另一个有用的形式是：

它有一个递归结构：

这种形式可用于微扰展开式，其中 是 的微扰。

4. 推广

二项式逆定理（Binomial Inverse Theorem）
如果 ，，， 分别是 ，，，的矩阵，那么:

前提是 和 是非奇异的。后者的非奇异性要求 存在，因为它等于 ，并且后者的秩不能超过 的秩。由于 是可逆的，所以在右手边的附加量逆的两边的两个 项可以被 替换，从而得到原始的Woodbury恒等式:

在某些情况下， 是有可能是奇异的。

5. 延伸

公式可以通过检查 乘以伍德伯里恒等式右侧的所谓逆得到恒等式矩阵来证明：





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参考文献

https://en.wikipedia.org/wiki/Woodbury_matrix_identity

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