Woodbury矩阵恒等式又称矩阵求逆引理,由该引理可以证明push-through矩阵恒等式、Sherman-Morrison 定理等,下面给出Woodbury矩阵恒等式的具体形式。
其中,、、、可逆,为了方便,我们设是、是、是、是。
下面给出证明:
首先考虑,我们将右乘,有:
为了和右式的建立联系,我们右乘,有:
由于可逆,所以:
由于可逆,所以:
为了与Woodbury恒等式的左边相联系,同时发现右边的一项右乘了,自然的想法就是,我们将配成,有:
再右乘,就出现了等式右边的那一项:
现在就很显然了,为了匹配右边的那一项,我们肯定要左乘,于是有:
移项即可,有:
证明完毕。
一个简单的记忆和推导方式
只要清楚的逆是的形式,通过解关于的方程即可推出Woodbury矩阵恒等式。下面给出某博主的求解思路:
特殊情形
● 当和是单位阵时,Woodbury矩阵恒等式可以变成:
这个等式可以让我们联想到:
以及push-through等式:
关于这个不等式的证明只需左乘,提取公因式,化简即可。当然Woodbury矩阵恒等式也可以通过这两个等式配凑得到。
● 当和是单位阵时,Woodbury矩阵恒等式可以变成:
化简可以得到:
证明思路是将右边第二项的凑成,两边展开化简,即可得到。
推论
● Sherman-Morrison 定理(秩1校正定理)
设可逆,向量,若,则秩一校正矩阵为可逆,其逆矩阵为:
关于这个定理的推广,可见这两篇文章:
● 拟牛顿法,见这位博主写的文章:
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