Woodbury矩阵恒等式证明及推论

Woodbury矩阵恒等式又称矩阵求逆引理，由该引理可以证明push-through矩阵恒等式、Sherman-Morrison 定理等，下面给出Woodbury矩阵恒等式的具体形式。

     

其中，、、、可逆，为了方便，我们设是、是、是、是。

下面给出证明：

首先考虑，我们将右乘,有：

                    

为了和右式的建立联系，我们右乘，有：

                 

由于可逆，所以：

              

由于可逆，所以：

            

为了与Woodbury恒等式的左边相联系，同时发现右边的一项右乘了，自然的想法就是，我们将配成，有：

    

再右乘，就出现了等式右边的那一项：

现在就很显然了，为了匹配右边的那一项，我们肯定要左乘，于是有：

      

移项即可，有：

       

证明完毕。

一个简单的记忆和推导方式

只要清楚的逆是的形式，通过解关于的方程即可推出Woodbury矩阵恒等式。下面给出某博主的求解思路：

矩阵求逆引理（matrix inversion lemma)冬瓜班小朋友的博客-CSDN博客矩阵求逆引理

特殊情形

● 当和是单位阵时，Woodbury矩阵恒等式可以变成：

               

这个等式可以让我们联想到:
         

以及push-through等式：

                   

关于这个不等式的证明只需左乘,提取公因式，化简即可。当然Woodbury矩阵恒等式也可以通过这两个等式配凑得到。

● 当和是单位阵时，Woodbury矩阵恒等式可以变成：

          

化简可以得到：

               

证明思路是将右边第二项的凑成，两边展开化简，即可得到。

推论

● Sherman-Morrison 定理（秩1校正定理）
设可逆，向量，若，则秩一校正矩阵为可逆，其逆矩阵为：
                

关于这个定理的推广，可见这两篇文章：

秩一校正定理 - 知乎 (zhihu.com)

Sherman-Morrison公式及其应用_山阴少年-CSDN博客

● 拟牛顿法，见这位博主写的文章：

Sherman-Morrison-Woodburg 定理_Liang_Ling的博客-CSDN博客