关于Max不等式的证明

作者: Azur_wxj | 来源:发表于2020-04-14 21:42 被阅读0次

关于Max不等式的证明
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1.证明： $\max\{a_i+b_i;i=1,2,\dotsc,n\}\leqslant \max\{a_i\}+\max\{b_i\}$

证明：不失一般性，假设 $a_1+b_1\leqslant a_2+b_2\leqslant\dotsc\leqslant a_n+b_n$ ，于是我们有 $\max\{a_i+b_i\}=a_n+b_n$ 根据最大值性质，显然有 $\max\{a_i\}\geqslant a_n,\max\{b_i\}\geqslant b_n$ 于是就有 $\max\{a_i+b_i\}\leqslant \max\{a_i\}+\max\{b_i\}$

2.证明：若 $\alpha\geqslant 0$ ，则 $\max\{\alpha x_i;i=1,2,\dotsc,n\}=\alpha\max\{x_i\}$ ；若 $\alpha<0$ ，则 $\max\{\alpha x_i;i=1,2,\dotsc,n\}=\alpha\min\{x_i\}$

证明：不失一般性，假设 $x_1\leqslant x_2\leqslant\dotsc\leqslant x_n$ ，从而 $\max\{x_i\}=x_n$ ， $\min\{x_i\}=x_1$ ；又因为 $\alpha\geqslant0$ ，于是 $\alpha x_1\leqslant \alpha x_2\leqslant\dotsc\leqslant \alpha x_n$ ，得到 $\max\{\alpha x_i\}=\alpha x_n$ ，结论成立。

若 $\alpha<0$ ，则 $\alpha x_1\geqslant \alpha x_2\geqslant\dotsc\geqslant \alpha x_n$ ，于是 $\min\{\alpha x_i\}=\alpha x_1$ ，结论也成立。

3.推论：若 $\alpha,\beta\geqslant0$ ，则 $\max\{\alpha x_i+\beta y_i;i=1,2,\dotsc,n\}\leqslant \alpha\max\{x_i\}+\beta\max\{y_i\}$

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