2023年同等学力申硕计算机综合试题解析--数学基础

作者: 旋风竹影 | 来源:发表于2024-03-24 22:24 被阅读0次

声明：本人已经在2023年完成了答辩获取了硕士学位，解数学题也是我的业余爱好。感谢网友收集了考试题目以及提供部分题目的解析思路（本套题我是通过一位同学提供的题目，多位同学提供的解题思路）。大部分题目由本人所做，结合教材理论完成了本文的编写。符号太多编写工作量大，如发现答案有错误或者不够准确请及时给我留言。后期老师讲解后，会同步更新到这里。如需转载请表明出处。

一. 逻辑符号表达

1. 新冠病毒比任何一种流感病毒传染性强 (要求写出两种形式, 一种用全称量词, 一种用存在量词)

[解析] P(x): 病毒是流感病毒, Q(a): 病毒是新冠病毒, R(m,n): 病毒 m 比病毒 n 感染性强

全称量词表达： $∀x(Q(a) \land P(x) \rightarrow R(a,x)))$ （其中a是特指新冠病毒)

用存在量词表述： $¬ \exists x((Q(a) \land P(x)) \lor R(a,x))$ 。

二. 选择题

1. 己所不欲勿施于人不是等价逻辑的是（C）

A. 只有己所欲才能施于人 B. 除非己所欲, 否则不施于人

C. 若己所欲，则施于人 D. 凡是施于人的都应该是己所欲

【解析】己所不欲勿施于人，即”施于人“的必要条件是”己所欲“，但不是”己所欲“就一定要”施于人“，因此选C

2. 已知A,B 是集合,P(A) P(B)为其幂集, 且 $A \cap B = ∅$ ，则 $P (A) \cap P (B) =$ （）

A. ∅ B. { ∅} C.{{ ∅}} D.{ ∅, { ∅}}

【解析】本题考幂集： $P(A) = \{x | x \subseteq A \}$ ， $P(B) = \{x | x \subseteq B \}$ ,由于 $A \cap B = ∅$ 因此 $P (A) \cap P (B) = ∅$ ｝，本题选B

3. 高度h (h ≥ 1) 且有k 个叶子的完全二叉树中,h和 k满足的关系式

A. $h = log_2 (k + 1)$ B. $2^h =k$ C. $h = 2^k$ D. $h > log_2 k$

【解析】完全二叉树叶节点只能出现在最下层和次下层，并且最下面一层的结点都集中在该层最左边的若干位置的二叉树。关于完全二叉树和满二叉树相关知识请点当前连接。当为满二叉树时，子叶节点数为 $k = 2^{h-1}$ ，对于完全二叉树而言，则 $k < 2^{h-1} \implies h > log_2k + 1 \implies h > log_2k$ ,因此本题选D

图1 完全二叉树

图 2 满二叉树

4.方程 $x _1+ x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 10$ 的正整数解的个数

A. $C_{14}^5$ B. $C_{14}^4$ C. $C_{9}^4$ D. $C_{9}^5$

【解析】本题有两种解法：方法一、可以理解成用10个球用4块挡板来做分隔，正整数解则要求挡板必须最少隔断一个球，10个球有9个空挡，用4块挡板可以分割成5个部分，可以理解成在9个空挡中插入4块挡板，因此答案为 $C_{9}^4$ ，选C，由于本题中C和D答案的结果一样，不知道是否有问题。方法二、请参考2010年考题计算题第2题.

5. 表达式 $(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 )^6$ 的展开式合并同类项后 $x_1^2x_2 x_4^3$ 的系数

A. $\frac{6!}{2!3!}$ B. $\frac{6!}{2!}$ C. $\frac{6!}{2!}$ D. $\frac{6!}{5!}$

【解析】本题主要考的是莱布尼茨的多项式定理 $(x_1+x_2+...+x_m)^n = \sum\nolimits\frac{n!}{n_1!n_2!...n_m!}x_1^{n_1} x_2^{n_2}... x_m^{n_m}$ ,将多项式结果代入公式得到合并类型结果： $\frac{6!}{2!3!}x_1^{2} x_2x_4^{3}$ ，因此本题选A。

6. 设 $π_k (G)$ 是用 k 种颜色给图 G 正常着色的不同方法数, 且 p4 表示有4 个定点的路,则 $π_k (p4 )$ 为（）

A. $k(k − 1)(k-2)$ B. $k^3 (k − 1)$ C. $k(k − 1)^2 (k − 2)$ D. $k(k − 1)^3$

【解析】本课题考的是图论的图着色问题, 对于P4可以表示成 $v_1v_2v_3v_4$ ，如四边形顶点， $v_1$ 有k种颜色，相连的 $v_2$ 有k-1种，此时 $v_3$ 与 $v_1$ 不相连，因此也有k-1种，最后的 $v_4$ 与 $v_1$ 和 $v_3$ 相连，因此有k-2种，算在一起则有 $k(k − 1)^2 (k − 2)$ 。答案选C

三.填空题

1. 集合A = {2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 14} 偏序关系 R为 A 上的整除关系,则 <A,R>

最长链长度（），最长链个数（）, 最长反链长度（） ,

极大元个数（）, 极小元个数（）,

最大元个数（）, 最小元个数（）

【解析】用哈斯图来表示，如图3所示。集合来表示如下： $B_1 = \{2,4,8\}, B_2 = \{2,6,12\}, B_3 = \{2,10\} ,B_4 = \{2,14\}, B_5 = \{3,6,12\},B_6 = \{3,9\}, B_7 = \{5,10\}$ ,因此可以看出，最长链长度为3，最长链个数3，【定理】设A为偏序集，若A的最长链的长度为n，则A存在n个划分块的划分，每个块都是反链。最长反链长度为3。极大元：如果b ∈ B，并且没有x ∈ B，x≠b使得b≤x，则b叫做B的极大元；极小元：如果b ∈ B，并且没有x ∈ B，x≠b使得x≤b，则b叫做B的极小元。最大元：设为有序集，B ⊆ A。如果b ∈ B，并且对每一x ∈ B都有x≤b，则b叫做B的最大元；最小元：设为有序集，B ⊆ A。如果b ∈ B，并且对每一x ∈ B都有b≤x，则b叫做B的最小元。每个集都有极大值和极小值，也有最小值和最大值，且每样都是一个（如图4）。因此极大元7个，极小元7个，最大元7个，最小元7个。

图3 哈斯图

图4 极大元极小元和最大元最小元

2. 平面连通图所有面度数之和为a, 其边数为b, a和 b 的关系

【解析】这个考的是【定理】G中各面的度数之和等于图G边数的两倍，所以 a = 2b

四.计算题

1. 求小于 1001且可以被 3或 5整除的正整数个数

【解析】小于1001的正整数只能是1-1000，令整除关系个数函数为 $F(x,y) = int(\frac{y}{x})$ ,则 $F(3,1000) = int(\frac{1000}{3}) = 333$ ， $F(5,1000) = int(\frac{1000}{5} )= 200$ ，3和5的公倍数为15，则有 $F(15,1000) = int(\frac{1000}{15}) =66$ ，如图5 文氏图所示，正整数的个数为 $F(3,1000) + F(5,1000) - F(15,1000) = 333 + 200 - 66 = 467$ 。

图5 文氏图

2. 计算 $\sum\nolimits_{k=1}^n k C_n^k$

【解析】该题有多种解法，由牛顿二项式公式 $（1+x）^n = \sum_{k=0}^∞C_{n}^kx^k$ ，两边同时求导得到 $n(1+x)^{n-1} = \sum_{k=0}^∞C_{n}^kkx^{(k-1)}$ ,此时令x = 1带入公式可得 $n(1+1)^{n-1} = \sum_{k=0}^∞C_{n}^kk1^{(k-1)} \implies n2^{n-1} = \sum_{k=0}^∞C_{n}^kk$ ，其中k = 0时， $C_{n}^kk = 0$ ，因此 $n2^{n-1} = \sum_{k=0}^∞C_{n}^kk = \sum_{k=1}^∞C_{n}^kk$ ，另外无穷大为n的取值，因此可以得到 $n2^{n-1} = \sum_{k=1}^∞C_{n}^kk= \sum_{k=1}^nC_{n}^kk$ 得解。

3. 证明对于任意集合 A,B和 C, 已知A ∪ B = A ∪ C , 且A ∩ B = A ∩ C , 证明B =C

【解析】本题考的是集合论相关知识点。证明方法也有很多，B=C即两个集合包含的元素相同，由已知条件A ∪ B = A ∪ C 可知A ∪ B 和 A ∪ C包含相同的元素。又根据已知条件A ∩ B = A ∩ C，可知A ∩ B 和A ∩ C只包含了B和A，以及A和C共有的元素，且元素是相同。其中A是一个固定集合，当A ∪ B = A ∪ C 且A ∩ B = A ∩ C可以推出B和C包含相同的元素个数，即得到B=C .

2023年同等学力申硕计算机综合试题解析--数学基础

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