2018年同等学力申硕计算机综合试题解析--数学基础

作者: 旋风竹影 | 来源:发表于2020-08-15 23:45 被阅读0次

声明：该份试题解析是本人自己做了一遍，再根据教材理论来完成本文编写，符号太多编写工作量大，如发现答案有错误或者不够准确请及时给我留言，如需转载请表明出处。感谢所有提出意见和建议，以及帮助过我的朋友。如果觉得还行，欢迎点赞转发，谢谢！

一、(共4分)用逻辑符号表达下列语句(论域为包含一切事物的集合)

1、(2分)集合A的任一元素的元素都是A的元素

解析： P(x)： x是集合A的元素；Q(x,y)：x是y的元素。

∀x ∀y(P(y)∧Q(x,y) → P(x))

2、(2分)天下没有长相完全一样的两个人（要求写出两种形式，一种用全称量词，一种用存在量词）

解析： P(x)：x是人；Q(x,y)：x和y长相相同；R(x,y)：x和y相同

∀x ∃yP(x)∧P(y)∧Q(x,y) → R(x,y)

二、填空(1-2题每空1分，3-6题每空2分，共16分)

1、设A={∅，{∅}}，计算∅-A=____∅______，A-P(∅)=______{{∅}}_______，P(A)-{∅} = _{{∅}，{{∅}}，{∅，{∅}}}_，P(A)⊕A=_{{{∅}}，{∅，{∅}}}_.（其中P(A)表示A的幂集）

解析：A={∅，{∅}}，∅是空，即不含任何元素，因此∅-A=∅；P(∅) = {∅}，A-P(∅)={∅，{∅}}-{∅}={{∅}}；P(A)={ ∅，{∅}，{{∅}}，{∅，{∅}} }，P(A)-{ ∅}={ {∅}，{{∅}}，{∅，{∅}} }；P(A)⊕A =（P(A)-A）∪（A-P(A)）={{{∅}}，{∅，{∅}}}∪∅ = {{{∅}}，{∅，{∅}}}

2、按照无穷公理表示的自然数以及连续统假设，用最简洁的形式写出下列计算结果，其中N表示自然数集合，R表示实数集合。

∩30=____∅______,∩{18,27}=____18____,| $N_{N}$ |=___ $ℵ₀$ __,| $R_{R}$ |=__ $ℵ$ __

解析：该考点考的是自然数属于每个归纳集的集合和广义交运算。

∩30 = ∩{0，1，2，3，...,29} =∅∩ {0}∩{0,1}∩{0，1，2}∩...∩{0,1,2,3,4,...,28} = ∅

∩{18,27} = {0,1,2,3,...,17} ∩ {0,1,2,3,...,26} = {0,1,2,3,...,17} =18 =min(18,27)

（仅供参考）连续统假设，不存在比阿列夫零大，比阿列夫小的基数。自然数集合N的基数为 $ℵ₀$ （阿列夫零），实数集合R的基数为 $ℵ$ （阿列夫）

3、将函数f(x)=( $1+x+x^2+x^3+...$ )²( $x^2+x^3+x^4+...$ )³ 展开后 $x^{14}$ 系数是___495_____

解析： $f(x)= (1+x+x^2+x^3+... )²(x^2+x^3+x^4+... )³=(1-x)^{-2}x^6 (1-x)^{-3}=x^6(1-x)^{-5}$

根据牛顿二项式公式推广公式 $（1-x）^{-n} = \sum_{k}^∞C_{(n+k-1,k)}x^k$ ，则 $f(x)=x^6 \sum_{k}^∞C_{(5+k-1,k)}x^k, (n=5)$ 要满足 $x^{14}$ ,则k=8，从而系数为 $C_{(12 , 8)} = C_{(12,4)} =\frac{12*11*10*9}{1*2*3*4} =495$

4、如果平面图和它对偶图是同构的，则称此平面图是自对偶的。若G是有n个顶点，m条边的自对偶图，求n和m满足关系式是___m=2n-2____（此关系不含有n和m以外的其他变量）

解析：对偶图满足图G与对偶图 $G^*$ 的点跟面数是一样的。同时满足欧拉公式 $v-e+r=2$ 这里的 e=m, v=r=n, 代入可得m = 2n-2。

5、设图G是共有10个顶点边数最多的三部图，则G有____24_________条边。

解析：如图下图示：因此边数为 3*4*2 = 24。（这个题也有另外一种理解，边数最多是完全三部图，如果按完全三部图的形式计算 9+12+12=33，如果不考虑完全三部图的话，就按照括号外的答案。）

10顶点边数最多三部图模型

6、有六对夫妇坐在一个圆桌旁，其中通过转圈得到的坐法视为相同的坐法， $S_{i}$ 表示第i对夫妇坐一起，则同时满足 $S_{1}$ ， $S_{3}$ 和 $S_{6}$ 的坐法有_ $2^38!$ ___种。

解析：（之前的答案是我在抄写题目的时候漏抄了一个‘第’字，导致理解上的偏差，因此答案变成了 $2^65!$ ），要同时满足 $S_{1},S_{3},S_{6}$ ，即这样就说明这三对夫妻需要固定下来，于是把他们进行绑定与另外3对夫妻进行圆周排列，一起总数是9个元素，排列方法为 $8！$ ，其中绑定的那三对夫妻，让女士优先，每位丈夫在可以在妻子的左边或者右边因此有 $2^3$ ，因此总数为 $2^38!$ 种。

三、计算题(要求写出详细运算步骤，共3分)

1、有120个学生参加考试，共有A、B、C三道题。已知三道题都做对的有12个学生，作对A、B都有20个学生，做对A、C的有16个学生，做对B、C都有28个学生，做对A的有48个学生，做对B的有56个学生，有16个学生一道题也没有做对，试求仅做对C的学生有多少个？

解析：该题有两种方法：一种是容斥原理计算，另一种是文氏图法：

方法一：先用容斥原理来解。

设做对题A的人数为|A|=48，做对题B的人数为|B|=56，做对题C的人数为|C|，全集|N|=120, 做对三道题的余集为16.

$|A\cup B \cup C| = |N| - |\bar{A} \cap \bar {B} \cap \bar{C} | = 120 - 16 = 104$

$|A\cup B \cup C| =|A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C | = 104$ 其中 |A| = 48，|B| = 56， |A∩B|=20，|A∩C|= 16， |B∩C|= 28， |A∩B∩C|= 12，代入式子可得 |C| = 104-12+20+16+28-48-56 = 52，题目中要求仅做对C的人数，

因此为 |C| - |A∩C| - |B∩C|+|A∩B∩C| = 52 - 16 - 28 + 12 = 20 即仅做对C的学生人数为 20 人。

方法二： 文氏图法：总人数为120人，要求仅做对C的人数，即图中粉红部分的人数X = 120 -16-20-24-8-4-16-12 = 20 ，即仅做对C题的学生人数为20人。

文氏图

四、解答题(共6分)

1、(3分)4名同学同时参加英语和德语面试，要求每门科目只能同时面试1人，2门科目面试时间先后顺序认为是不同的，试问共有多少种不同的面试次序？

解析：本题可以理解为4名学生以任意顺序去参加英语面试，于此同时不能在同一时刻去参加德语面试，即原来某位的同学不能在同一位置上（错排问题）。因此该题的解为 $4！D_{4} = 4！*4！*(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!} ) = 24*9 = 216$ 。关于错排可以用容斥原理来推,即 $i_{1}\neq 1，i_{2}\neq 2，i_{3}\neq 3，i_{4}\neq 4$ ，不在原来的秩序位置上： $D_{4} =|\bar{A_{1}} \cap \bar{A_{2}} \cap \bar{A_{2}} \cap \bar{A_{4}} | = N-|A_{1} \cup A_{2} \cup A_{2} \cup A_{4}| =N-\sum_{i=1}^4 |A_{i}|+\sum_{i=1}^4\sum_{j>i} |A_{i}\cap A_{j}| ...{(-1)}^4|A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap A_{4}|$ $= 4! - C_{(4,1)}3! + C_{(4,2)}2! -C_{(4,3)}1!+C_{(4,4)}0!=4!(1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!} )$ =9

2、(3分) 求满足递推关系 $h_{n} = 5h_{n-1}-6h_{n-2}$ 中 $h_{n}$ 的表达式，其中初始条件 $h_{0} = 1, h_{1}=-2$ 。

解析：本题考的是常系数齐次递推关系，原式转换为 $h_{n} - 5h_{n-1}+6h_{n-2}=0$ ，

因此特征方程为 $q^2 - 5q+6=0$ , 化简之后得到 $(q-2)(q-3)=0$ ,

解得两个特征根 $q_{1}=2,q_{2}=3$ ，无重根， $h_{n}$ 的通解为 $H_{n} = C_{1}q_{1}^n+C_{2}q_{2}^n$ ,

把两个特征根和初始条件 $h_{0},h_{1}$ 代入得到方程组： $C_{1}2^0+C_{2}3^0 = 1 （1式）， C_{1}2^1+C_{2}3^1 = -2 （2式）$ ，

解该方程组得 $C_{1}=5 ，C_{2}=-4$ ，得 $h_{n} =5*2^n-4*3^n$

五、证明题(11分)

1、(3分)对非空集合A上的关系R，若R是非自反和传递的，证明R是反对称的。

证明：用反证法证明，假设结论R是反对称不成立，即R是对称的。

R是A上的反自反关系 $\forall x\{x\in A \land <x,x> \notin R\}$ ，

R是A上的传递关系 $\forall x\forall y \forall z \{x,y,z\in A \land <x,y>\in R\land \in R \rightarrow \in R\}$

如果对任意 $\forall x\forall y\{x,y\in A \land <x,y>\in R \rightarrow \in R\}$ 成立，则比存在 $\forall x\{x\in A \land <x,x> \in R\}$ ，与已知条件相矛盾。

显然<x,y>与<y,x>最多只能有一个属于R，所以R是A上的反对称关系。

2、(8分)设 $K_{n}$ 是n个顶点的完全图，用红、蓝两种颜色给 $K_{9}$ 的边任意着色。

1)证明 $K_{9}$ 中至少存在一个顶点v，使得v关联红边个数不是3。

2)证明必有蓝色的 $K_{4}$ 或红色的 $K_{3}$ 。

1)证明：用反正法证明。

假设将 $K_{9}$ 进行染色，每个点到其余8个点所成的边都是恰有3条关联的边为红色，现从每个端点统计各引出的红色边的总数应是3*9 = 27，但这是不可能的，因为每条边关联两个顶点，对这种统计，所有点引出的红色关联边的总数应为偶数，假设相矛盾,。因此必存在一点，从该点到其余各点的边染红色边数一定大于3或小于3，因此得证。

2)证明：设从 $v_{1}$ 向其余8个点引出的边中红边多于3条，即至少有4条，不妨设它们为 $(v_{1}，v_{2}),(v_{1},v_{3}),(v_{1},v_{4}),(v_{1},v_{5})$ 。让 $v_{2}，v_{3}，v_{4}，v_{5}$ 构成 $K_{4}$ ，若有一条红色边，则其两个端点与 $v_{1}$ 构成红色三角形，即构成红色的 $K_{3}$ ，否则这些边全为蓝色，这时 $v_{2}，v_{3}，v_{4}，v_{5}$ 就构成了一个蓝色的 $K_{4}$ 。

设从 $v_{1}$ 向其余8点的引出的边中，红色边数少于3条，即至多有2条，这时从 $v_{1}$ 引出的蓝色边会有6条。不妨设这些边为 $(v_{1}，v_{2}),(v_{1},v_{3}),(v_{1},v_{4}),...,(v_{1},v_{7})$ ,让 $v_{2}，v_{3}，v_{4}，v_{5}，v_{6}，v_{7}$ 所构成完全图 $K_{6}$ ，若其中有一个红色三角形，则结论已真。若 $K_{6}$ 中有个蓝色三角形，则该三角形的3个顶点连同 $v_{1}$ 构成一个蓝色 $K_{4}$ ，结论亦真。

综上所述得证。

2018年同等学力申硕计算机综合试题解析--数学基础

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