P18-P20微分

P18-P20微分

作者: 陈文瑜 | 来源:发表于2019-09-29 23:28 被阅读0次

微分

本质上是一个近似值
$\Delta x \quad \Delta y = y(x_0 +\Delta x)-y(x_0)$
有的时候没有必要那么精细，减少计算量
求增加的面积
$\Delta S = (x_0 + \Delta x)^2 - x_0^2 = 2x_0 \Delta x +(\Delta x)^2 \approx 2x_0 \Delta x$
其实这个 $x_0$ 是常量， $\Delta x$ 为变量
可以表示为
$\Delta y = A \Delta x +o(\Delta x)$
可微可导
$dy = f^\prime (x_0)\Delta x = f^\prime(x)dx$
$\Delta x =dx \quad \Delta y \approx dy$
好的，微商来了(导数定义)
$\frac{dy}{dx} （这里是整体，上边独立） = f^\prime (x)$
微分也有四则运算和求导相同
$dy \quad d(uv) \quad d(u+v) \quad d(\frac uv)$

例子：
$x^2 +2xy -y^2 = 2x$

两边微分
$2xdx + 2ydx + 2xdy -2ydy = 2dx$

应用

近似值 $\Delta x$ 较小，效果才好
$f(x_0+\Delta x ) \approx f(x_0)+f^\prime (x_0) \Delta x$
举例： $x \rightarrow 0$
$\sqrt[n]{1\pm x} \approx 1\pm \frac xn \quad e^x \approx 1+x \quad$
$ln(1+x) \approx x \quad \frac{1}{1+x} \approx 1-x$

泰勒定理

总用一次函数代替，似乎不太好
用n次多项式会不会好一点
那什么时候用多项式来代替呢
多项式是什么呢
误差多大
$f(x) = f(x_0) + \frac {f^\prime (x_0)}{1!}(x-x_0) + \frac {f^{\prime\prime} (x_0)}{2!}(x-x_0)^2 +...+\frac {f^{(n)} (x_0)}{n!}(x-x_0)^n +R_n(x)$
其中 $R_n(x) =\frac {f^{(n+1)} (\xi )}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}$
$e^x \approx 1+x + \frac{x^2}{2!}+...+\frac {x^n}{n!}$
$sinx \approx x- \frac{1}{3!}x^3 +\frac {1}{5!}x^5$

洛必达法则

解决 $\frac 00 \quad \frac \infty \infty$
$\lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f(x)}{g(x)} = \lim_{x \rightarrow x_0} \frac {f^\prime (x)}{g^\prime(x)} = a (或 \infty)$

单调性

增 $f^\prime (x)>0$
减 $f^\prime (x)<0$

凹凸性

凹 $f(\frac {x_1+x_2}{2}) < \frac {f(x_1)+f(x_2)}{2}$
$f^{\prime \prime} (x) >0$

函数的极值和最值

极大值
$U(x_0) \quad \forall x \in U(\hat x_0) \quad f(x)<f(x_0)$
驻点
最值点

函数作图

渐近线水平垂直斜
定义域
凹凸性

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