随机变量

随机变量这个概念在高中时期我们就接触过。

我们计算一个离散的随机变量会尝试计算每个随机变量和它对应的概率，然后对其求和
写成公式大约是这样：

是随机变量 取 时的概率。

变量通常指一个会变化的量，随机变量顾名思义是其取值没有规律。
相对于有规律的变量，如 的因变量 , 它的取值可以严格计算和预测。而随机变量不具有这个特征。

另一方面，随机变量的随机性需要依托概率模型还共同描述。概率模型将实际世界的某些事件抽象成为一个概率模型，然后将样本空间的可能性用一个实数域的数字描述，即可以将随机变量看成是概率空间到上的实值函数。

举例子来说，投骰子的游戏，每次扔出一个骰子，它静止之后朝上的点数是一个随机事件。一个骰子一般有6面，每一面我们分别用一个数字对应，于是分别有 {1, 2, 3, 4, 5, 6} 6个不同的点数。

数学建模的过程——我们要假设骰子的构造没有太多的特殊性质，每一面很均匀，然后再忽略其它因素，风，掷骰子的手法，从而得出一个古典概型的概率模型： 每个面出现的机会是均等。
根据以上的概率模型可以用一个简单的分布列描述:

那么每次投骰子出现的点数就是一个随机变量, 用 表示的话，随机变量 首先是一个从概率空间到 的实值函数 ，这个比较隐蔽的事实常常会被人忽略。实际上这个过程是将概率模型数量化的一个过程。

二维随机变量

把投骰子的游戏改成每次投两个，每个骰子朝上的点数一般不会一样，因此需要用两个变量来描述。一次投出两个骰子，这个事件就可以对应到一个二维随机变量

在代数中，这种数字堆积的形式可以看成是一个向量 , 它的取值

(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)
(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)
(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 5), (4, 6)
...
(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)

有 6 × 6 = 36 种
将骰子数量增加，随机变量就会变成 n 个，整个取值空间会变成 那么大。

一维随机变量的期望和方差

对于离散随机变量，它的期望就是 (1) 的求和公式。连续变量有一个积分形式:

是 的定义域

期望可以看成是平均值。

刻画整个变量的取值的波动情况的统计变量，是均方差。