差分算法原理及代码模板

1.一维差分算法

• 1.给定原始数组a = {a[1]、a[2]、...、a[n]}
• 2.目的：构造出数组b = {b[1]、b[2]、b[3]、...、b[n]}，使得下面的条件成立：a[i] = b[1] + b[2] + ... + b[i]。因此，数组b称为数组a的差分和，数组a称为数组b的前缀和。
• 3.现在需求：将[l,r]区间中的数组元素a[i]均加上常数C，如果使用原始算法，则要扫描一下数组a，时间复杂度为O(n)；如果使用差分算法则时间复杂度仅为O(1)。具体步骤如下：
  • a.b[l] + C：当b[l] + C时，a[l]、a[l+1]、......、a[n]均会加C，原因是a[i] = b[1] + b[2] + ... + b[i]
  • b.b[r + 1] - C：由于需求是将数组a中[l,r]区间中的元素均加C，因此需要将b数组中a[r+1, n]区间中的元素都减去C。这样做才能够抵消b[l] + C步骤中将数组a中[r + 1, n]区间中的元素多加的C给抵消掉，实现真正将[l,r]区间中的数组元素a[i]均加上常数C。

#include <iostream>


using namespace std;

const int N = 10001;

int n, m;
int a[N], b[N];   // a是前缀和数组，b是差分数组

// 题目：输入长度为n的数组，进行m个操作，每个操作包含三个整数l、r、C,表示将区间[l,r]中的每个数加上C。求输出进行完所有操作后的数组。

void insert(int l, int r, int C)
{
    b[l] += C;
    b[r + 1] -= C;
}


int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for(int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &a[i]);

    for(int i = 1; i <=n; i++) insert(i, i, a[i]);
    while(m--)
    {
        int l, r, C;
        scanf("%d%d%d", &l, &r, &C);
        insert(l, r, C);
    }
    // 求前缀和数组a
    for(int i = 1; i <= n; i++) b[i] += b[i - 1];
    for(int i = 1; i <= n; i++) printf("%d ", b[i]);
    return 0;
}

2.二维差分算法

二维差分算法原理.png

#include <iostream>


using namespace std;

const int N = 1010;

int n, m, q;
int a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            scanf("%d", &a[i][j]);

    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);
    
    while(q--)
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    // 求前缀和
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= m; j++)
            b[i][j] += b[i-1][j] + b[i][j-1] - b[i-1][j-1];
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        for(int j = 1; j <= m; j++) printf("%d ", b[i][j]);
        puts("");
    }
    return 0;
}