分数及其在数轴上的位置

      在学校的数学教学中，往往把分数看成是一个整体或者集合的部分。在引入符号之前，学生们早期接触的分数通常是与那些包括切割和分配在内的有关活动，以及与那些以图片和单词形式的表征相关联。物体的几何排列，例如挂衣板上的钩子，有助于学生们把集体中的各个部分和集合中的一个部分联系起来，并有助于他们开始用语言来表达整体和部分之间的关系，这种语言表达有助于他们理解两个不同数字之间的比，同时也给出了相同分数的不同表征形式，如½就等同于两个¼。

      对学生们来说，培养灵活使用符号的能力以及弄清已知乘法运算之间的关系是非常重要的。能否成功运用分数进行计算，取决于学生们是否理解了分数既代表一个数字，也代表一个比率，而这个比率反应了得出这个数字的过程。符号¾表示介于½和1之间的一个数字，作为一个整体的¾，也是3除以4所得到的结果。后面这些等值分数形式可以使学生们理解6/8，15/20和75/100都表示同一个数。后一种表征形式则表明让学生们认识到3/4，等同于0.75和75%是至关重要的。研究表明，无须强调拆分整体的方法，而是在数轴上找到与分数相等的数字，这种方法也有助于学生们在分数、小数以及百分数之间建立等值关系。

      在数轴上先计算分子是1的分数，会颠倒学生们对分数相对大小的标准化理解，也会提供给学生们这样一个认知模式，在这个模式中，数轴上分数间的距离（例如1/3和1/4间的距离）并不是学生们所期待的那种单位1的距离。

分数及其在数轴上的位置

      改变分子但分母保持不变，将会使学生们学会在数轴上确定不同分数的位置，并且把分数的顺序和整数的计数顺序联系起来。首先计算，和2之间的数字，然后再把这些数字作为“假分数”和“带分数”介绍给学生。在同一张图表上，呈现不同类型的分数可以说明等值的概念。（上图b）此时，熟悉乘法事实是相当重要的，只有这样，学生们才能辨认出分数的不同形式。延长数轴也会给他们提供把不同的表征形式和乘法事实相联系的机会。这里，数字的比率能够以不同的形式呈现。学生们很容易把某些分数和小数以及百分数的表征形式联系起来，如1/2，1/4，3/4，1/5，1/10。这些分数为学生们提供推演其他等值形式的“基准”。在使用符号计算的过程中，教师应该鼓励学生们使用尽可能多的解释，并且把不同表征形式联系起来。

分数及其在数轴上的位置

如果意识不到这一点。计算规程就会限制学生们对数学的解释。而且这些计算规程在课程上似乎是根深蒂固的。教师需要花大量的时间和精力让学生们接触与分数表征形式相联系的概念。研究表明，15岁的学生很难分辨出1/2和2/3之间的分数。哈特所做的研究也表明，只有21%的学生能够正确回答这一问题。

      教育学者迈克.奥斯尤具体说明了在学习情境中。社会规则是如何限制学生对数学的各种可能性的理解。他指出如果你问教师和学生表征的是什么分数，大部分人回答的是五分之三或五分之二或者两者皆是，但是这张图表也可以用多种其他形式来“阅读”，包括他代表了1 2/3，2 1/2，1 1/2或2/3。他指出：

      人们普遍把它读成了五分之三的原因，不是因为这张图表本身，也不是因为学生感知图表内分数的能力有限，而是因为人们已经建立了这样一种规则:从教科书的编写者到教师，家长，所有人都把这张表读成3/5，这里社会规则成了理解图表的核心。

分数及其在数轴上的位置