对于一些非线性可分问题，我们需要采取神经网络来解决（本质上还是一个逻辑回归），如下：
我们的目标时找到一个函数，成功分别X、O
激活函数主要由两种：
- 阶跃函数
-
sigmoid函数
下面为sigmoid函数
一、单层神经网络介绍
神经元：
误差计算方法：
跟梯度下降中处理线性问题一样，在处理这种非线性可分问题时，为了使我们的预测误差最小，我们需要使用梯度下降方法找到最优误差，神经网络中的误差计算方法：
根据梯度得到权值的更新公式：
权值更新公式
接下来我们实现上图中的单层神经网络（只有一个具有传递函数的层）：
首先处理数据：
# Import dataset
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
iris=pd.read_csv('./data/iris.csv')
shuffled_rows=np.random.permutation(iris.index)
iris=iris.loc[shuffled_rows,:]
print(iris.shape)
%matplotlib inline
print(iris.species.unique())
iris.hist(["sepal_length","sepal_width","petal_length","petal_width"])
plt.show()
iris['ones']=np.ones(iris.shape[0])
X=iris[['ones', 'sepal_length', 'sepal_width', 'petal_length', 'petal_width']].values
Y=((iris['species']=='Iris-versicolor').values.astype(int))
实现该神经网络：
定义激活函数、误差函数cost function、梯度计算函数
def sigmoid_activation(x, theta):
x = np.asarray(x)
theta = np.asarray(theta)
return 1 / (1 + np.exp(-np.dot(x, theta)))
def cal_cost(x,y,theta):
#h=sigmoid_activation(x.T,theta)
h=sigmoid_activation(x,theta).T
cost=-np.mean(y*(np.log(h))+(1-y)*np.log(1-h)) #h应该为1×n的样式，这样y×h才能得到一个向量而非矩阵
return cost #计算的是累计误差，即所有样本的误差
#计算误差的梯度
def gradient(X,Y,theta):
grads=np.zeros(theta_init.shape) #5*1
for i,obs in enumerate(X):
h=sigmoid_activation(obs,theta) #计算单个样例的梯度，再把所有样例的累加起来然后取平均值，也可以直接计算所有样例的梯度，再取平均值。
delta=(Y[i]-h)*h*(1-h)*obs #为（5,）的一个array
grads+=delta[:,np.newaxis]/len(X) #需要对delta增加维度才能与grads相加
return grads
注意：
- 激活函数：当我们输入整体样本集时，返回的就是一个由n个样本的预测概率组成的n×1数组。
- 计算误差：(y(np.log(h))+(1-y)np.log(1-h)，
y为[1,0,1,...],shape:( n, )；
此时的h要为一个1×n的数组，只有（n，）*（1×n）才可以得到一个1×n的数组；如果(n,) *( n,1),得到的将是一个矩阵！http://www.cnblogs.com/Rambler1995/p/5581582.html
下面时完整的调整theta降低误差的过程，调整完theta以后就可以输入预测数据进行预测：
#接下来我们给出单层神经网络的完整theta计算过程：
theta_init = np.random.normal(0,0.01,size=(5,1))
def learn(X,Y,theta,alpha=0.1):
counter=0
max_iteration=1000
convergence_thres=0.000001
c=cal_cost(X,Y,theta)
cost_pre=c+convergence_thres+0.01
costs=[c]
while( (np.abs(c-cost_pre)>convergence_thres) & (counter<max_iteration)):
grads=gradient(X,Y,theta)
theta+=alpha*grads
cost_pre=c
c=cal_cost(X,Y,theta)
costs.append(c)
counter+=1
return theta,costs
theta,costs=learn(X,Y,theta_init)
plt.plot(costs)
plt.title("Convergence of the Cost Function")
plt.ylabel("J($\Theta$)")
plt.xlabel("Iteration")
plt.show()
二、多层神经网络（具有隐含层）
下面是一段关于多层神经网络的介绍：
由其结构可知:
输出层的输入为隐藏层的输出，而隐藏层又由起始层的输入数据计算得来；此时总共由两组权值：输入层与隐藏层间的，隐藏层与输出成之间的，也就是说我们需要调整的theta为两组。
multi-layer feedforward
多层前馈神经网络，指网络拓扑结构上不存在环或者回路。
误差函数与单层网络相同：
权值更新公式见周志华机器学习-P102
部分因式如下：
多层网络权值更新公式部分因式
接下来我们实现算法，为了保证算法的重用性，定义一个NNet类，结构如下：
- class NNet
- 'init
- learning_rate
- maxepochs
- convergence_thres
- hidden_layer
- protected methods
- _sigmoid_activation
- _multi_cost
- _feedforward
- learn
- predict
- 'init
class NNet:
def __init__(self):
pass
def _sigmoid_activation(self):
pass
def _multi_cost(self):
pass
def _feedforward(self):
pass
def predict(self):
pass
def learn(self):
pass
完整代码如下：
class NNet3:
def __init__(self, learning_rate=0.5, maxepochs=1e4, convergence_thres=1e-5, hidden_layer=4):
self.learning_rate = learning_rate
self.maxepochs = int(maxepochs)
self.convergence_thres = 1e-5
self.hidden_layer = int(hidden_layer)
def _sigmoid_activation(self,x, theta):
x = np.asarray(x)
theta = np.asarray(theta)
return 1 / (1 + np.exp(-np.dot(theta.T, x)))
def _multiplecost(self, X, y):
l1, l2 = self._feedforward(X)
# compute error
inner = y * np.log(l2) + (1-y) * np.log(1-l2)
return -np.mean(inner)
def _feedforward(self, X):
l1 = self._sigmoid_activation(X.T, self.theta0).T
l1 = np.column_stack([np.ones(l1.shape[0]), l1])
l2 = self._sigmoid_activation(l1.T, self.theta1)
return l1, l2
def predict(self, X):
_, y = self._feedforward(X)
return y
def learn(self, X, y):
nobs, ncols = X.shape
self.theta0 = np.random.normal(0,0.01,size=(ncols,self.hidden_layer))
self.theta1 = np.random.normal(0,0.01,size=(self.hidden_layer+1,1))
self.costs = []
cost = self._multiplecost(X, y)
self.costs.append(cost)
costprev = cost + self.convergence_thres+1
counter = 0
# Loop through until convergence
for counter in range(self.maxepochs):
l1, l2 = self._feedforward(X)
# Start Backpropagation
# Compute gradients
l2_delta = (y-l2) * l2 * (1-l2)
l1_delta = l2_delta.T.dot(self.theta1.T) * l1 * (1-l1)
# Update parameters
self.theta1 += l1.T.dot(l2_delta.T) / nobs * self.learning_rate # theta1是一个5*1的数组，调整完也是。
self.theta0 += X.T.dot(l1_delta)[:,1:] / nobs * self.learning_rate
counter += 1 # Count
costprev = cost # Store prev cost
cost = self._multiplecost(X, y) # get next cost
self.costs.append(cost)
if np.abs(costprev-cost) < self.convergence_thres and counter > 500:
break
`
learning_rate = 0.5
maxepochs = 10000
convergence_thres = 0.00001
hidden_units = 4
# Initialize model
model = NNet3(learning_rate=learning_rate, maxepochs=maxepochs,
convergence_thres=convergence_thres, hidden_layer=hidden_units)
# Train model
model.learn(X, y)
prediction=model.predict(X)
prediction=np.array([i>=0.5 for i in prediction]).astype(int)
print(prediction)
print(prediction==y)
# Plot costs
plt.plot(model.costs)
plt.title("Convergence of the Cost Function")
plt.ylabel("J($\Theta$)")
plt.xlabel("Iteration")
plt.show()
误差调整过程如下：
注：关于神经网络的层数
既可以说两层也可以说是三层：
2层： 是从传递函数sigmoid的角度考虑的，只有隐含层跟输出层有传递函数，这个时候，输入是直接用线，不是用神经元来表示的。
3层： 以神经元为单位的。因为输入也可以用神经元来表示的。
一般常用的神经网络是三层结构的，即只有一个隐藏层。（从传递函数的角度来说也可以说是两层）
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