Ax=b有解的条件
求解
由前面的知识我们知道
有解会满足的条件:
1.b向量刚好在A的列空间,即b可以由A的各列进行线性组合得到
2.A矩阵的更行的线性组合能得到零行,那么向量b的各行经过同样的线性组合应该也能得到零行
求解的具体的算法
1.简化阶梯型矩阵自由列对应的自由变量全部取,然后分别求出主元变量的取值,这样的主元变量和自由变量取值构成的解称为的一个特解
2.求出的零空间
3.将特解和零空间解合起来,就是所有的的解
这里给出一个具体的例子
我们把第七讲中矩阵拿过来并把右侧向量改为
消元后得到
根据算法,
第一步:我们首先找到矩阵U的自由列是第二列和第四列,于是我们知道自由变量是,所以我们让,通过回代我们求出
因此其特解为
第二步:求出Ax的零空间,这一步骤我们在求解Ax=0的时候其实已经有了答案,这里我们直接抄写过来
第三步:完整的解为特解加上零空间解
于是有,这个解如果画出图,是一个四维空间的二维平面经过平移得到的一个新的平面,注意这个新的平面不是某种向量空间,因为它不经过原点。
思考:这里要稍微提一下为什么上面的解是合理的?
比如我们求的特解为,于是为
同时我们求出的零空间解为,于是
显然
整理到一起就是,因此零空间加上特解就是最终的完整解
思考:为什么特解求解方式是让自由变量为0
如果我们让自由变量取其他值,比如说全部设置为1,
即,那么我们可以求出
,也就是说这个特解其实还是等同于上面的自由变量为0的时候特解加上其中一个零空间解,即本质上是一样的,所以让自由变量取零算起来还方便一点
思考:接下来的问题是,我能不能让主元变量取0来计算特解呢。
这个显然是不行的,本例子比较特殊,所以可以让主元变量为0,但是有些矩阵如果让主元变量全取零,相当于只剩下自由变量所在列,而只剩下自由变量列是没法保证列空间还和原先矩阵一样的,那么此时特解就不一定求得出来了
Ax=b解的结构
定义的秩(主元列的个数)为
- r=m=n,没有自由变量
Ax=b只有唯一解 - 列满秩的情况下 ,没有自由变量
A的零空间只有零向量
Ax=b有0个或一个解 - 行满秩的情况下,有n-r个自由变量
A的零空间由n-r个向量组构成零空间特殊解
Ax=b有多个解 - r<n,r<m
有0个解或多个解
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