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MIT 线性代数 8.求解Ax=b 可解性和解的结构

MIT 线性代数 8.求解Ax=b 可解性和解的结构

作者: 光能蜗牛 | 来源:发表于2022-05-25 10:55 被阅读0次

    Ax=b有解的条件

    求解Ax=b

    由前面的知识我们知道
    Ax=b有解会满足的条件:

    1.b向量刚好在A的列空间,即b可以由A的各列进行线性组合得到
    2.A矩阵的更行的线性组合能得到零行,那么向量b的各行经过同样的线性组合应该也能得到零行

    求解Ax=b的具体的算法

    1.简化阶梯型矩阵自由列对应的自由变量全部取0,然后分别求出主元变量的取值,这样的主元变量和自由变量取值构成的解称为Ax=b的一个特解
    2.求出Ax=0的零空间
    3.将特解和零空间解合起来,就是所有的Ax=b的解

    这里给出一个具体的例子
    我们把第七讲中矩阵拿过来并把右侧向量改为b
    Ax=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x1\\x2\\x3\\x4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\5\\6\end{bmatrix}
    消元后得到
    Ux=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\0&0&2&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x1\\x2\\x3\\x4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\3\\0\end{bmatrix}
    根据算法,
    第一步:我们首先找到矩阵U的自由列是第二列和第四列,于是我们知道自由变量是x2和x4,所以我们让x2和x4为0,通过回代我们求出x3=3/2,x1=-2
    因此其特解为x_p=\begin{bmatrix}-2\\0\\3/2\\0\end{bmatrix}
    第二步:求出Ax的零空间,这一步骤我们在求解Ax=0的时候其实已经有了答案,这里我们直接抄写过来X_{nullspace}=c\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix}
    第三步:完整的解为特解加上零空间解
    于是有X_{complete}=\begin{bmatrix}-2\\0\\3/2\\0\end{bmatrix}+c\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+d\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix},这个解如果画出图,是一个四维空间的二维平面经过平移\begin{bmatrix}-2\\0\\3/2\\0\end{bmatrix}得到的一个新的平面,注意这个新的平面不是某种向量空间,因为它不经过原点。

    思考:这里要稍微提一下为什么上面的解是合理的?

    比如我们求Ax=b的特解为v,于是为Av=b
    同时我们求出Ax=0的零空间解为w,于是Aw=0;
    显然Av+Aw=b+0
    整理到一起就是A(v+w)=b,因此零空间加上特解就是最终的完整解

    思考:为什么特解求解方式是让自由变量为0

    如果我们让自由变量取其他值,比如说全部设置为1,
    x2=x4=1,那么我们可以求出x3=-1/2,x1=-2
    x_p=\begin{bmatrix}-2\\1\\-1/2\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-2\\0\\3/2\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-2\\1\\0\\0\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}2\\0\\-2\\1\end{bmatrix},也就是说这个特解其实还是等同于上面的自由变量为0的时候特解加上其中一个零空间解,即本质上是一样的,所以让自由变量取零算起来还方便一点

    思考:接下来的问题是,我能不能让主元变量取0来计算特解呢。

    这个显然是不行的,本例子比较特殊,所以可以让主元变量为0,但是有些矩阵如果让主元变量全取零,相当于只剩下自由变量所在列,而只剩下自由变量列是没法保证列空间还和原先矩阵一样的,那么此时特解就不一定求得出来了

    Ax=b解的结构

    定义m*n的矩阵A的秩(主元列的个数)为r(A)

    1. r=m=n,没有自由变量
      Ax=b只有唯一解
    2. 列满秩的情况下r=n<m ,没有自由变量
      A的零空间只有零向量
      Ax=b有0个或一个解
    3. 行满秩的情况下r=m<n,有n-r个自由变量
      A的零空间由n-r个向量组构成零空间特殊解
      Ax=b有\infty多个解
    4. r<n,r<m
      有0个解或\infty多个解

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