17世纪有一个叫Peter的荷兰人，用60荷兰盾（24美金）的布料和饰品，从印第安人手中买下了曼哈顿岛。时至今日，曼哈顿岛是全世界最为繁华的商业中心，仅仅按照2000年的估算，曼哈顿岛就价值2.5万亿美金。但是且慢，我们再看看如果Peter当年用24美元投资，按照美国股市近100年的平均投资收益率9%来计算的话，他的财富到现在大概是多少？从1626年到Peter买下曼哈顿到2000年，经过300多年的事件之后，按照9%的投资回报率，这24美金会神奇地变成2386万亿美金，差不多是曼哈顿岛价值的1000倍！
复利：时间的魔力
在这个例子里，24美金变成了2000多万亿美金的秘密就在于复利。利率的计算方式一般分为两种，单利和复利。所谓单利，就是本金固定，到最后一次性结算利息；而复利就是利滚利，把上一期的利息也作为下一期的本金来计算。复利的巨大魔力就在此，其实是一个数学问题，叫做几何基数增长，和通常说的“翻番”很接近。比如说2的两次方是4，2的三次方是8，2的四次方是16。数学公式就是a=（1+q）^n，其函数图形为斜率逐渐增大的凹函数。时间参数n足够大，即使是投资回报率q上有一个微小的差异，单利和复利之间也会形成很大的财富差异。
假设2005年的时候，有两个年轻人，同样用10万块钱做投资，一个存了银行的定期，每年是4%的回报率，用的是单利；另外一个买了银行理财，每年5%的收益率，用的是单利；另外一个卖了银行理财，每年5%的收益率，采用的是复利。听上去4%与5%的中间收益率的差别是非常微小的，前几年两个年轻人中间的财富差异是很小的，第5年的时候也就差个5000多块钱，但随着事件的拉长，复利的收益就开始刷出单利的收益几条街。到第50年的时候复利收益为109.21万，已经是单利收益29.60万的四倍了，如果能够到100年，复利收益差不多是单利收益的25倍了。
很多人不知道的是，我们中国的银行存款，采取的都是单利的计算方式，而大部分的基金、保险产品用的是复利的计算方式，聚沙成塔，即使不大的金额，在经历了长期的积累之后，在你财富上也能产生巨大的差距。另外就是银行赚钱的秘密，银行的看家本领除了吃存款利率和贷款利率之间的利差之外，还会利用单利和复利差上赚钱利润。中国的存款利率采取的是单利计算方式，贷款利率采取的是复利计算方式。假设现在是3%的存款利率，6%的贷款利率，你有100万的存款，15年后拿到的累计利息是45万；假设你同时有一笔100万的贷款，同样是单利计算的话，15年后累计利息是90万，但是如果采用的是复利的计算方式，累计利息为139.65万。这样计算下来，银行在单利与复利上赚取了95万。
复利怎么运用呢？
运用复利这个概念，举几个例子。假如说现在有一个十年期的债券，它的票面是利息是8%，你可以选择复习方式，一种是每年付一次，另外一种是每个季度付一次，都使用复利计算，那你会选择哪一种？每季度付息一次就像是滚雪球，当票面利率恒定的情况下，雪球滚动的次数越多越好。每年付息一次的话那么，年末的实际利率就是8%，如果每季度付息一次的话，那么每季度的利率就是8%/4=2%，年末实际利率为（1+2%）^4=8.24%.
复利投资思想，其实在商业世界里面也非常常见。比如我们看一家企业的资金周转率。同样规模和利润的企业，如果其他给定的条件不变的情况下，资金周转率越高，就如滚雪球一样，到最后的利润率肯定也是最高的。当前小米手机的生产模式、包括很多网红的服装店，都是采取的订单生产模式，都是接到客户订单后，拿着钱再直接去工厂里生产，就不会积压资金，其本质上就是加快资金的周转。所以说，虽然复利是标准的金融概念，但是你会发现它在管理、营销上都有很大的运用空间。
定投：复利的升级版
上面可以看出复利收益率的增长，是需要长期之后才能体现出与单利的区别，那么这个长期到底有多长。我们以不同的年化复合收益率，在不同的时间长度下进行计算，假如你的年化收益率是30%，那么第一年结束时的收益为1.30......到第十年结束的时候·，本金加上收益应该总计为13.79，也就是说翻了将近14倍。注意，在投资过程中，别去计算绝对值......也就是说不要老去想着如果当初投资了XXX钱，那么现在应该是XXXX钱，只看倍数和比例就好了。
从不同收益率里可以看出，“长期”很可能对不同的人来说长度很不一样。对于年化收益率为35%的人来说，六年后的收益效果将达到6.05，这相当于年化收益率为10%的人要等上19年才能达到的效果（6.12）。即便年化收益率比10%仅高出5个百分点，即15%，也能“提前6年”差不多达到同样的收益效果（6.15）......所以如果你的能力越弱（年化收益率低），那么相对于你的长期就越长。反过来说，你可以通过提高你的能力缩短长期的长度！
更狠的说，学习使人长寿。对于学习能力越强的人来说，“长期”的实现越短，于是，他们在“长期”过去之后，相对于别人有着更长的“自由”时限......何止长寿！分明是，学习是人拥有更高质量的长寿......如果我们把“定投策略”加进来，那么我们看到另外一种结果，同样的表格，加入一列累计投资金额——假设每年追加1个单位的投资金额......
每年追加1个单位的投资金额
首先，我们来看上面的第一个问题，10%的年化复合收益率，与30%的年化复合收益率，在第三、第四年的时候看起来差异已经变小。可以看出，一定程度上，策略可以弥补能力上的不足。这就是为什么明智的投资者比起相信“自己的智商与能力”来说更相信“策略的力量”的核心原因。其次，正确策略的力量是非常强大的，同样是10%的年化收益率，在第一张表格里（不采用定投策略），要等到第19年才能做到6.12，在第二表格里，第4年就能做到6.11......可能还会在想，定投的总计投入5个单位，关键点在于，那多出来的4个单位（5-1=4）分明是贯彻执行策略的结果，所以，又有第二条重要的投资秘密：最好有投资意外的稳定收入来源......
再假设一下，如果总是不得不把投资收益中的一部分拿出来花掉的话，来看第三张表格：既定投资者每年必须花费0.2个单位的资金......
每年必须花费0.2个单位的资金
从表格可以看到，即便是投资收益率达到35%，翻倍都需要至少4年过去，坚持10年，也不过是9.19......更何况能做到35%的人，事实上都是万分之一难上加难。这其中其实有计算长期的公式，公式叫做“72法则”：
X≈72/年化复合收益率值 （X代表翻倍所需时间）
比如，你的年化复合收益率是10%的话，那么你需要72/10，即大约7年的时间让你的投资翻倍；如果你的年化复合收益率是25%的话，那么你需要72/25，即大约3年的时间让你的投资翻倍。
复利也可以体现在个人成长当中
除了在经济世界里面，其实你也会发现复利在思想在成长、学习上都可以创造很多奇迹。比如说中国的经济增长，很多人会有一种感觉，这些年中国“突然”崛起了，这就是复利增长的模式。中国的改革开放是1978年开始起步的，前期额时候尽管增长很快，但并没有看出很强烈的效果，但是到了2000年后，这种持续稳定高增速的效果就体现出来了。比如说10%的增速下，七年GDP就能翻番，但是一旦持续增长的趋势被打破的话，整个发展的速度就会下降得比想象的要大。就是我国为什么一直强调要维持稳定发展的态势，在复利增长的模型里，不怕增长率微小，就怕过度波动，因为这些波动会把你的增长给吞噬掉。
个人的成长也分三种情形：
第一种情形：你每天浑浑噩噩度日，没有一点进步，一年以后你的水平值没有变化，始终还是维持原状，是1；
第二种情形：你每天学习一点，每天只进步1%，一年以后你的水平值是多少呢？是37.78（1.01^365=37.78）；
第三种情形：你每天退步一点点，退步1%，一年以后你的水平值是多少呢？是0.025(0.99^365=0.025)。
如果每天努力一点点，一年后的自己会比以前的自己优秀38倍，而每天退步哪怕一点点的人，也会将自己的才华消耗殆尽。不积硅步，无以至千里。
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