OpenGL-向量/矩阵变换/投影

基本概念

向量

从坐标原点指向这个位置点的一个向量（带箭头的线段）

向量在OpenGL里对应的数据类型M3DVector3f(3维浮点向量)、M3DVector4f(4维浮点向量)

向量 行/列向量

向量间的几何意义

矩阵

矩阵在OpenGL里主要运用于坐标变换，其对应数据类型有M3DMatrix33f(3x3浮点矩阵)、M3DMatrix44f(4x4浮点矩阵)等。

矩阵与矩阵相乘

注意：矩阵的乘法不满足交换律（ AB != BA）

变换

• 视图变换

用于确定场景中的有利位置，即观察者的位置，就像在场景中放置照相机并让它指向某个方向。

• 模型矩阵
  物体本身的坐标变换，有旋转、平移、缩放3种基础模型变换。

• 模型视图变换
  实际上就是视图变换和模型变换的结合，因为视图变换和模型变换实质上是一样的，只是为了程序员方便而区分出来，因为你移动物体向前10m，和观察者向后移动10m，最终效果是一样的。

• 投影变换
  投影变换分为正投影和透视投影：

  • 正投影（平行投影）：无论物体有多远，都会按照同样大小进行绘制。
  • 透视投影：远处的物体看起来会比近处同样大小的物体更小一些。

• 视口变换
  将逻辑窗口坐标映射到物理窗口坐标的变换**，称为视口变换，通常我们不需要为这事操心，图形硬件已经为我们做好了这些。

代码解析

• 矩阵变换

函数定义

// 加载单位矩阵
void m3dLoadIdentity44(M3DMatrix44f m);
// 沿着 x/y/z 轴平移
void m3dTranslationMatrix44(M3DMatrix44f m, float x, float y, float z);
// 沿着 x/y/z 轴旋转 angle（弧度）
void m3dRotationMatrix44(M3DMatrix44f m, float angle, float x, float y, float z);
// 在 x/y/z 轴上进行缩放
void m3dScaleMatrix44(M3DMatrix44f m, float xScale, float yScale, float zScale);
// 矩阵 a 和矩阵 b 相乘得到矩阵 product
void m3dMatrixMultiply44(M3DMatrix44f product, const M3DMatrix44f a, const  M3DMatrix44f b);

使用

// 创建3个4x4矩阵，分别是合成矩阵、平移矩阵、旋转矩阵
M3DMatrix44f mFinalTransform, mTranslationMatrix, mRotationMatrix;
// 平移(xPos, yPos, 0)的矩阵表示
m3dTranslationMatrix44(mTranslationMatrix, xPos, yPos, 0.0f);
// 绕z轴旋转的矩阵，每次旋转角度加 5 度，m3dDegToRad = 角度 -> 弧度
static float zRot = 0.0f;
zRot += 5.0f;
m3dRotationMatrix44(mRotationMatrix, m3dDegToRad(zRot), 0.0f, 0.0f, 1.0f);
// 矩阵相乘，参数顺序很重要，先平移，后旋转
m3dMatrixMultiply44(mFinalTransform, mTranslationMatrix, mRotationMatrix);

• 投影矩阵
  通过视景体（GLFrustum）来设置

[GLFrustum] { // 仅仅表示以下方法是 GLFrustum 的方法
    // 设置正投影矩阵参数，(x, y, z)最小和最大值
    void SetOrthographic(GLfloat xMin, GLfloat xMax, 
                         GLfloat yMin, GLfloat yMax, 
                         GLfloat zMin, GLfloat zMax);
    // 设置透视投影矩阵参数，分别为：透视角，宽高比，近距，远距
    void SetPerspective(float fFov, float fAspect, float fNear, float fFar);
    // 获取投影矩阵
    const M3DMatrix44f& GetProjectionMatrix(void);
}

为方便管理各个矩阵，GLTools 提供了矩阵堆栈 GLMatrixStack，默认堆栈最大深度为 64，有压栈、出栈等操作

[GLMatrixStack] { // 仅仅表示以下方法是 GLMatrixStack 的方法
    // -------- 矩阵加载 -----------
    // 在栈顶载入单元矩阵，载入即覆盖
    void LoadIdentity(void);
    // 在栈顶载入任何矩阵
    void LoadMatrix(const M3DMatrix44f m);
    // 用栈顶矩阵乘以某个矩阵，得到的结果矩阵覆盖原来的栈顶矩阵
    void MultMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix);
    // 获取栈顶矩阵
    const M3DMatrix44f& GetMatrix(void);
    // -------- 出栈压栈 -----------
    // 压栈，在栈顶压入一个矩阵
    void PushMatrix(const M3DMatrix44f mMatrix);
    // 出栈，把栈顶矩阵移除矩阵堆栈
    void PopMatrix(void);
    // -------- 仿射变换 -----------
    // 栈顶矩阵进行缩放变换
    void Scale(GLfloat x, GLfloat y, GLfloat z);
    // 栈顶矩阵进行平移变换
    void Translate(GLfloat x, GLfloat y, GLfloat z);
    // 栈顶矩阵进行旋转变换
    void Rotate(GLfloat angle, GLfloat x, GLfloat y, GLfloat z);
}

而为了方便管理模型视图矩阵堆栈和投影矩阵堆栈，GLTools 为我们提供了管理管线 GLGeometryTransform，帮助我们跟踪记录这两种矩阵堆栈，并快速检索模型视图矩阵堆栈顶部或投影矩阵堆栈顶部。

函数定义

[GLGeometryTransform] { // 仅仅表示以下方法是 GLGeometryTransform 的方法
    // ----------- 设置矩阵堆栈 ---------
    // 单独设置模型视图矩阵堆栈
    void SetModelViewMatrixStack(GLMatrixStack& mModelView);
    // 单独设置投影矩阵堆栈
    void SetProjectionMatrixStack(GLMatrixStack& mProjection);
    // 同时设置模型视图矩阵堆栈和投影矩阵堆栈
    void SetMatrixStacks(GLMatrixStack& mModelView, GLMatrixStack& mProjection);
    // ----------- 获取堆栈顶部 ---------
    // 获取模型视图矩阵堆栈的栈顶矩阵
    const M3DMatrix44f& GetModelViewMatrix(void);
    // 获取投影矩阵堆栈的栈顶矩阵
    const M3DMatrix44f& GetProjectionMatrix(void);
    // 获取2个矩阵堆栈的栈顶矩阵相乘的结果矩阵
    const M3DMatrix44f& GetModelViewProjectionMatrix(void);
}

使用

// 设置正投影参数，(xMin, xMax, yMin, yMax, zMin, zMax)
viewFrustum.SetOrthographic(-130.0f, 130.0f, -130.0f, 130.0f, -130.0f, 130.0f);
// 获得到的正投影矩阵载入堆栈中
projectionMatrix.LoadMatrix(viewFrustum.GetProjectionMatrix());
// 变换管线，管理2个堆栈
transformPipeline.SetMatrixStacks(modelViewMatix, projectionMatrix);

// 设置透视投影矩阵参数，分别为：透视角，宽高比，近距，远距
viewFrustum.SetPerspective(35.0f, float(width)/float(height), 1.0f, 1000.0f);
// 载入透视投影矩阵
projectionMatrix.LoadMatrix(viewFrustum.GetProjectionMatrix());
// 利用变换管线，管理2个堆栈
transformPipeline.SetMatrixStacks(modelViewMatix, projectionMatrix);

// 窗口渲染回调
void RenderScene(void) {
    // 定义一个测试运行时间
    static CStopWatch rotTimer;
    // 获取到上一个时间点到当前的时间间隔(单位是每秒刻度数，即  1/60s)
    float yRot = rotTimer.GetElapsedSeconds() * 60.0f;
    // 清空缓冲区
    glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);
    // 定义矩阵
    M3DMatrix44f mTranslate, mRotate, mModelview, mModelViewProjection;
    // 向z轴平移的矩阵变换
    m3dTranslationMatrix44(mTranslate, 0.0f, 0.0f, -2.5f);
    // 绕y轴旋转的矩阵变换
    m3dRotationMatrix44(mRotate, m3dDegToRad(yRot), 0.0f, 1.0f, 0.0f);
    // 矩阵变换的合并矩阵
    m3dMatrixMultiply44(mModelview, mTranslate, mRotate);
    // 投影矩阵 + 视图变换矩阵 = 最终物体位置坐标
    m3dMatrixMultiply44(mModelViewProjection, viewFrustum.GetProjectionMatrix(), mModelview);
    // 绘制花托
    GLfloat vBlack[] = { 0.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f };
    shaderManager.UseStockShader(GLT_SHADER_FLAT, mModelViewProjection, vBlack);
    torusBatch.Draw();
    // 因为是双缓冲区模式，后台缓冲区替换到前台缓存区进行显示
    glutSwapBuffers();
    // 自动触发下次渲染回调，达到动画的效果
    glutPostRedisplay();
}