第31课线性变换及对应矩阵

作者: rascalpotato | 来源:发表于2019-11-10 17:38 被阅读0次

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投影，不通过任何矩阵描述投影，可以通过线性变换来描述投影。

通过线性变换使得平面内的一个向量变成平面内的另一个向量，这种关系通常称为映射，将一个向量根据某规则进行映射

例： $T$ 就像一个函数对输入进行变换，输出另一个向量 $T:R^2\to R^2$ ；

判断线性变换的两个条件
$T(v+w)=T(v)+T(w)\\ T(cv)=cT(v);c为常数$

平面平移，假如平面内的所有向量沿着某个方向平移 $v_0$ ，不是一个线性变换

零向量通过线性变换，一定是等于0的， $T(0)=0$

$T(v)=||v||,T:R^3 \to R^1$ 非线性变换

理解线性变换的方法是确定它背后的矩阵，这才是线性变换的本质。

引入坐标系选定一组基，从线性变换开始， $T$ 表示线性变换。

非线性变换暂不研究，假使输入的是三维向量，输出为二维向量， $T:R^3 \to R^2$

例： $T(\underbrace{v}_{输入R^2})=A_{2\times3}\underbrace{v}_{输出R^3}$

每个线性变换对应一个矩阵，线性变换对于一个向量而言意味着，如果我们找到输入空间的一组基，并知道所有基向量的线性变换，足以确定任何 $v$ 的线性变换 $T(v)$ ， $v$ 是基向量的线性组合， $v=cv_1+\dots+cv_n$ ， $T(v_1),\dots,T(v_n)，T$ 对于基向量的影响 $T(v)=c_1T(v_1)+\dots+c_nT(v_n)$ ,只要确定 $T$ 对于所有基向量的影响。

将线性变换和矩阵联系起来，问题是如何把一个与坐标无关的线性变换变成一个与坐标有关的矩阵？

矩阵源于坐标系， $v_1,\dots,v_n$ ，坐标的存在意味着基的确立，一旦选定了一组基，坐标也随之确定，对其它向量而言， $c_1,\dots,c_n$ ，就是坐标值存在唯一的表达式， $v$ 表示成基向量的线性组合

向量本质的表达式：
$v=c_1v_1+c_2v_2+\dots+c_nv_n\\ v=\begin{bmatrix}3\\2\\4\end{bmatrix}= 3\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+ 2\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}+ 4\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$
向量的坐标根据 $\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}$ ，这一组基确定

通过一个矩阵来描述线性变换，构造一个矩阵 $A$ 用于表示线性变换 $T$ (旋转，投影， $n$ 维空间到 $m$ 维)

表示为： $T：R^n \to R^m$ ，关键在于确定输入 $n$ 维空间的输入向量与输出 $m$ 维空间的一组基，确定输出向量的坐标。

令：

$v_1,\dots,v_n$ ，做为输入向量的基，这些向量来自 $R^n$

$w_1,\dots,w_n$ ，做为输出向量的基，这些向量来自 $R^m$

选择向量 $v$ 通过基把它表示出来，于是得到坐标，然后把这些坐标值乘以矩阵 $A$ ，得到输出向量的坐标值。

首先要找出矩阵 $A$
$v=c_1v_1+c_2v_2\\ T(v)=c_1v_1+0v_2\\ 坐标(c_1,c_2) \to (c_1,0)\\ \to \begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_1\\0\end{bmatrix}$
输入空间和突出空间使用了同一组基，它们实际是投影的特征向量，所以得到的的矩阵为一个对角阵 $\Lambda$ ，因此特征向量为基可以得到对角阵 $\Lambda$ ，对角线上都是特征值

假设投影至一根倾斜45度的直线，使用标准基，而不是特征向量，标准基为 $v_1=\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}=w_1，v_2=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}=w_2$ ，接下来求矩阵 $A$ 也就是投影矩阵
$P=\frac{aa^T}{a^Ta}= \begin{bmatrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}$
该阵不是最佳阵

如何确定矩阵 $A$ ？

首先给定两组基 $v_1,\dots,v_n,w_1,\dots,w_n$ ，

再如何确定矩阵的第一列，线性变换对于第一个基向量产生怎样的影响？

最直接的方法是对 $v_1$ 进行线性变换，然后写出它的输出，位于输出空间，构成矩阵的第一列；
$T(v_1)=a_{11}w_1+a_{21}w_2+\dots+a_{m1}w_m,a_{11}\to a_{m1}$
第二列：
$T(v_2)=a_{12}w_1+a_{22}w_2+\dots+a_{m2}w_m,a_{12}\to a_{m2}$
以此类推到第 $n$ 列

然后用输入坐标乘以该矩阵，将得到正确的输出

$T=\frac{d}{dx},c_1+c_2x+c_3x^2$ 输出的所有组合，基是一些简单的幂函数，输出是导数

输入： $c_1+c_2x+c_3x^2$ ，基： $1,x,x^2$

输出： $c_2+2c_3x$ ，基： $1，x$
$\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\c_3\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}c_2\\2c_3\end{bmatrix}$
该例，三维输入空间到二维空间输出空间的线性变换，目的是求导，求导其实是线性运算，否则无法顺利进行求导运算

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