02 概念表示
概念表示
经典概念理论
概念的精确定义
- 可以给出一个命题
- 概念的经典定义方法
- 对象属于或不属于一个概念是一个二值问题
概念的组成部分
-
概念名
- 用一个词语来表示
- 属于符号世界或认知世界
-
概念的内涵表示
- 反应和解释概念的本质属性
- 人类主观世界对概念的认知
- 属于心智世界
-
概念的外延表示
- 由概念指称的具体实力组成
- 由满足概念的内涵表示的对象构成的经典集合
- 外延表示部分可观可测
经典概念的性质
- 可以使用内涵表示进行计算(数理逻辑)
- 可以使用外延表示进行计算(集合论)
数理逻辑
命题
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非真即假的陈述句
-
不能说明真，也不能说明是假的叫悖论
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真假判断结果叫真值
- 真值唯一
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简单命题用p、q、r、s、t等小写字母表示
-
符合命题用简单命题和逻辑词进行符号化
逻辑关联词
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否定联结词
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一元联结词
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符号为“¬”
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¬p
- 非p
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对应自然语言中“非”，“不”
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-
合取联结词
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二元联结词
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符号为“∧”
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p∧q
- p并且q
- p与q的合取式
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对应自然语言中“既···又···”“不但···而且···”“虽然···但是···”
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析取联结词
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二元联结词
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符号为“∨”
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p∨q
- p或者q
- p与q的析取式
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与自然语言中“或者”不完全相同
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自然语言
- 相容或
- 排斥或
-
数理逻辑
- 相容或
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-
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蕴涵联结词
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二元联结词
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符号为“→”
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p→q
- 如果p则q
- p与q的蕴涵式
- q是p的必要条件
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p→q为假
- p为真
- q为假
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对应自然语言中“只要p就q”因为p所以q”“只有q才p”“除非q否则非p”
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p为假时，无论q为真或为假，p→q总为真
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p与q可以完全没有内在联系
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等价联结词
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二元联结词
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符号为“↔”
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p↔q
- p当且仅当q
- p与q的等价式
- p与q互为充要条件
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简单命题并不是最终的基本单位
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陈述句
- 主语谓语结构
- 主语谓语宾语结构
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谓词逻辑
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个体词
-
研究对象中可以独立存在的具体或泛指的客体
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个体常项
- 标识具体或者特指的客体的个体词
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个体变项
- 泛指的客体的个体词
-
由小写字母表示
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谓词
-
用来刻画个体词性质或者个体词相互关系的
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谓词常项
- 具体性质或关系的谓词
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谓词变项
- 泛指或者抽象的性质或者关系的谓词
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常项和变项由上下文决定
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由大写字母表示
-
n元谓词
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以个体域为定义域，以{0,1}为值域的n元函数或者关系
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含有n个(n≥1)个体变项x1,x2,···,xn的谓词F成为n元谓词
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没有个体变项的谓词成为0元谓词
- 0元谓词就是命题
- 任何命题都是0元谓词
- 命题为特殊的谓词
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量词
-
全称量词
- 一切，所有，任意，每一个，凡，都
- 符号为“∀”
- ∀x表示个体域内的所有个体，而个体域事先确定
- ∀xH(x)表示所有个体x都有性质H
- 个体变项的特性谓词与其对应的谓词之间是蕴涵关系
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存在量词
- 存在，有一个，有的，至少有一个
- 符号为“∃”
- ∃x表示个体域里的某个个体，个体域事先确定
- ∃xH(x)表示个体域里某个个体x都有性质H
- 个体变项的特性谓词与其对应的谓词之间是合取关系
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-
当概念的内涵表示为命题时，概念之间的组合运算可以通过数理逻辑进行
集合论
集合
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一个由概念指称的所有对象组成的整体成为该概念的集合
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对象称之为集合的元素或者成员
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概念名为集合的名称
-
该集合称为对应概念的外延表示
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名字有两个
-
自然语言里叫概念名
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大写字母用在数学里，降低书写复杂度
- 实数集合R
- 整数集合Z
- 有理数集合Q
- 自然数集合N
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表示方法
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枚举表示法
- 列出集合中的所有元素
- 元素之间用逗号隔开
- 用花括号括起来
- 不允许一个元素多次出现
- 集合中元素地位平等，元素无顺序
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谓词表示法
- 用谓词来概括集合中的元素属性
- 该谓词是与集合对应的概念的内涵表示
- 即其命题表示的谓词符号化中的谓词
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集合的元素都是集合
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如果同一层次的不同概念之间有各种关系，则对于同一层次上的两个集合，彼此之间也存在各种不同关系
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定义
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如果A,B是两个集合，且A中任意元素都是集合B中的元素，则称集合A是集合B的子集
- A被B包含
- B包含A
- A⊆B
- A不被B包含则为A⊈B
- A⊆B⇔∀x(x∈A→x∈B)
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如果A,B是两个集合，且A⊆B与B⊆A同时成立，则称A与B相等
- A包含B
- B包含A
- A=B
- A≠B
- A=B⇔A⊆B∧B⊆A
-
如果A,B是两个集合，且A⊆B与A≠B同时成立，则称A是B的真子集
- A⊂B
- A⊄B
- A⊂B⇔A⊆B∧A≠B
-
不包含任何元素的集合叫做空集
- ∅
- ∅ = {x|x ≠ x}
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集合A的全体子集构成的集合叫做集合A的幂集
- P(A)
- A为n元集，则P(A)有2n个元素
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在一个具体问题中，如果涉及的集合都是某个集合的子集，则称该集合为全集，记作E
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设A,B为集合，A与B的并集A∪B，交集A∩B，对称差A⨁B，B对A的相对补集A-B，绝对补集~A
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A∪B = { x|x∈A∨x∈B}
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A∩B = { x|x∈A∧x∈B}
- 如果两个交集为空集，则称两个集合不可交
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A⨁B = { x|(x∈A∧x∉B)∧(x∈B∧x∉A)}
-
A-B = { x|x∈A∧x∉B}
-
如果A⊆E，~A = E - A={x|x∈E∧x∉A}
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定理
- 空集是一切集合的子集
- 空集是唯一的
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特征函数
- 可以使用集合的特征函数来表示特定论域中的元素与集合的关系
- 当全集为E，待讨论的集合为A，IA(x)=1,当且仅当x∈A，否则IA(x)=0,则IA(x)是集合A的特征函数
概念的现代表示理论
命题的真假和对象属不属于某个经典集合都是二值假设
秃子悖论
- 比秃子多一根头发的人也是秃子
原型理论
- 一个概念可有一个原型来表示
- 一个原型既可以是一个实际的或者虚拟的对象样例，也可以是一个假设性的图示性表征
- 假设概念为概念的最理想代表
扎德提出模糊集合概念
样例表示
-
概念不可能由一个对象样例或者原型来表示，但是可以由多个已知样例来表示
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一个样例属于某个特定概念A而不是其他概念，仅仅因为该样例更像特定概念A的样例表示而不是其他概念的样例表示
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概念的样例通常有三种形式
- 由该概念的所有已知样例来表示
- 由该概念的已知最佳、最典型或者最常见的样例来表示
- 由该概念的经过选择的部分已知样例来表示
知识表示
- 人类文明都存在颜色但是具体颜色概念有差异
- 概念是特定只是框架（文明）的一个组成部分
- 认知科学总是假设概念在人的心智中是存在的
不同的概念具有不同的内涵表示
- 命题表示
- 原型表示
- 样例表示
- 知识表示
- 认知表示
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