为什么矩阵的特征值等于矩阵的迹

在线性代数中，一个 {\displaystyle n\times n} 的矩阵 \mathbf{A}的迹（或迹数），是指\mathbf{A}的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和，一般记作 \operatorname{tr}(\mathbf{A}) 或 \operatorname{Sp}(\mathbf{A})

下面用多项式根与系数的关系证明矩阵特征值之和等于矩阵的迹

|\lambda E - A|= \begin{vmatrix} \ \lambda-a_{11} & -a_{12}&\dots & -a_{1n} \\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \dots & -a_{2n} \\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots \\ -a_{n1} & -a_{n2} & \dots & \lambda-a_{nn} \ \end{vmatrix}=0

上式是一个以 \lambda 为未知数的一元n次方程，称为n阶方阵A的特征方程。其左端是 \lambda 的n次多项式，称为方阵A的特征多项式，显然A的特征值就是特征方程的解。

特征方程在复数范围内恒有解，其个数为方程的次数（重根按重数计算），因此n阶矩阵A有n个特征值。

把特征方程写为： b_{0}+\sum _{{k=1}}^{{n}}b_{k}\lambda^{k}=0 其中 b_k 是k次项的系数，由韦达定理（根与系数的关系），则有：

\sum _{{k=1}}^{{n}}\lambda_{k}=-{\frac{b_{n-1}}{b_{n}}}

其中 \sum _{{k=1}}^{{n}}\lambda_{k} 是特征方程的解之和（方阵A的特征值之和） 可以看出本例中 b_n=1 ，则：

\sum _{{k=1}}^{{n}}\lambda_{k}=-b_{n-1} \quad \quad(1)

现在问题变成了求特征多项式n-1次项的系数 b_{n-1} 。

根据行列式定义，行列式是不同行不同列的项的乘积之和，本例中除了主对角线的乘积外，次数都小于n-1，因此n-1次项的系数 b_{n-1} 就是 (\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22})\ldots(\lambda-a_{nn})中 \lambda^{n-1} 的系数，也就是 -(a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn}) ，即：

b_{n-1}=-(a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn})\quad \quad (2)

把(2)代入(1)，得到：

\sum _{{k=1}}^{{n}}\lambda_{k}=a_{11}+a_{22}+\ldots+a_{nn}\quad

因此矩阵特征值之和等于矩阵的迹。