前言：本文是本人的一些浅薄见解，受水平限制，如有不当或者缺漏之处，还望各位内行指正补充。
让我们一起愉快的飙车吧！
一位老司机，名字叫罗尔，来到秋名山，喇叭嘀嘀嘀。
罗尔发车了。
秋名山重峦叠嶂，九曲回肠，就即便是罗尔这样的老司机，开起来也是心惊胆战，不过凭借着逆天般的车技，他还是到了终点。
望着一路上坡下坡，忽高忽低，他突然冒出来一个奇怪的念头：“起点和终点是等高的，诶？好像无论我怎么上坡下坡，总有那么一个时候，我和起点终点都等高啊！而且，在最高和最低的地方，车身是平行于地平线的。”他很惊讶，但是很快就想明白了：“嗯，我这是汽车，不是潜地机，也不是火箭，而起点和终点又是等高的，要在这路上走，必须是有升有降，才能到终点，而且最高的，最低的地方，车身确实很平。”
罗尔一脚油门，继续往前狂飙。
很不幸，他遇到了两段很奇怪的道路。
一段路是一路上坡，结果在坡顶路消失了，取而代之的是下方很低的地方的一段路，“奶奶的，这路不连续也不给个标识啊，坑死人了。”罗尔的车划过一道完美的抛物线狠狠的拍在了地上。
“呸！这破路，怎么断开了。”车子翻了几个滚，总算是正过来了，罗尔骂骂咧咧的继续开车。
好景不长，前面又是一段及其诡异的路，上下坡的地方尖的像一把刀，可是此时别无选择，罗尔一咬牙，一脚油门踩了下去，车子在“尖刀”上上上下下，等到出了秋名山的时候，他的车地盘已经被扎了n个眼儿了。
罗尔懊恼的抱怨：“垃圾秋名山，老子再也不来飙车了，哎哟喂我的大奔哟！”
二号老司机，绰号拉格朗，一脚油门踩，咔嚓撞断树。
拉格朗日并不害怕，他相信自己的技术，一脚油门，车速很快提到了200码。
果然是车神级的人物，拉格朗日开的比罗尔稳的多，他放着摇滚开着车，好不惬意。突然，他也意识到了一个问题：“无论自己怎么加速减速，车速在180-220之间来回变动，总有那么一个时刻，他的车速等于这段路自己跑的平均速度。”他仔细想了想，没错，就是这样，平均速度嘛，终归是介于最低和最高时速之间的，从低速加到高速，从高速减到低速，都要经过这个点，哪怕只有一瞬间。
一个失神，他没控制好方向，车子狠狠的撞在了树上，树断了。拉格朗日的脑袋狠狠的怼在了方向盘上，他晕头转向的念叨着：“嗬，这次不行了，撞这一下子，找不到那个点喽！速度变得太快了，瞬间就归零了。”
三号老司机，名字叫柯西，车稳速度高，真是太流弊。
柯西开着车经过，嘲讽到：“真菜，让本座给你演示演示。”
柯西是个新晋车神，可他自己似乎不喜欢这个称号，自封车魔，不过不得不说，他的车技也是非常棒的。
他非常顺利的到达了终点，在夕阳中抽起了雪茄。
但是他有个怪癖，喜欢查看行车记录仪，他一边抽烟，一边看记录仪，还顺手把拉格朗日和罗尔的记录仪要了过来。
看着看着，他的眉头紧皱，似乎发现了什么不得了的事情。
他的脑海里迅速闪过一个念头：“看了看三辆车的数据记录，这也太妙了，在我选定的同样时常的两段路上，任意两辆车的平均速度有那么一个比值，而两辆车的瞬时速度之比，至少有那么一个等于这个值。不过，包含拉格朗日撞树的那一段过程找不到这个点，包含罗尔飞跃‘断崖’的那一段儿过程也找不到这样的点。”
柯西满意的晃了晃脑袋，拿着小本本记录下来这个惊人的发现。
诠释：
罗尔遇到的第一段路，就是正常的连续可导函数，斜率和函数值均未发生突变。
第二段路则是断崖一样的，函数值在某个时间点突然改变（高度突然变低），属于不连续函数，于是他就翻车了。
第三段路是尖刀一样了，把罗尔的车扎的满目疮痍。这就是不可导函数了（斜率突变），行驶的轨迹突然改变，好，这下也翻车了。
这就是传说中的罗尔定理，在一段起点与终点函数值相等的函数曲线上，至少有一点的函数值和起点终点相同，而且至少有一点的斜率是0，但是，只适用于连续可导函数（在给定区间内）。
拉格朗日遇到的第一段路，开的很稳，也是正常的连续可导函数。
但是第二段路就惨了，他不小心撞到了树，导致速度骤降为0，一瞬间，斜率改变了，函数变成了不可导函数，他也“翻车了”
这是拉格朗日中值定理，即在一段函数曲线上，至少有那么一点，该点的斜率等于起终点连线的斜率（就是文中的瞬时速度和平均速度），但是仍然只限于连续可导函数，否则还是不成立。
对前两种情况的图像描述
柯西显然精明的多，他没有亲自去试那些诡异的道路，而是调出了记录仪。
他发现的，就是柯西中值定理了，对于两个连续可导函数，在给定区间，至少有那么两点，斜率之比等于两段函数端点连线斜率之比。当然，如果任意有一个或者两个函数都不可导/不连续，就足以搞砸这一切。
柯西定理的图像描述
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