矩阵方程不可逆问题转置可解[光声信号求解物质浓度]

最近在推导光声方程求解血红蛋白浓度的时候遇到了一些问题，因此，在这里对过程做以记录。

根据基础理论，通过比尔法则可以知道：吸光度=消光系数厚度物质浓度。
在这里，光声信号求解血红蛋白的摩尔浓度，已知两个波长1064nm和694nm的光声信号，以及相应波长下的脱氧血红蛋白和含氧血红蛋白的消光系数，求解两种物质的摩尔浓度。
原理式可以表示为：
(Eq. 1)
其中，
，。

矩阵方程系数矩阵可逆时

如果矩阵可逆，则（Eq. 1）两边可以直接乘逆矩阵，有
(Eq. 2)
化简后为：
(Eq. 3)

矩阵方程系数不可逆或为任意矩阵时

如果矩阵不可逆或者为任意矩阵，则（Eq. 1）两边可以先乘其转置在乘以他们的逆矩阵，有
(Eq. 4)
(Eq. 5)
化简后为：
(Eq. 6)

这里存在一个问题：
为什么对于任意矩阵或者矩阵不可逆的情况，使用逆矩阵的时候，需要先乘其转置，在将整体取逆？换句话说，矩阵乘其转置，为什么是可逆的？
关于该问题的解释可以看一下这个网易视频，证明可逆。

看完看感觉好难，还涉及到了零空间，非线性。头大。

解方程试试

换个思路解决这个不可逆的问题，那就是解方程，然后把X变为P，Y变为C，试试看会怎么样。
源表达式
(Eq. 1)
其中，
，。

公式(Eq. 1)对应的方程组为：
(Eq.6)

对公式(Eq.6)上式乘以，下式乘以，消去，表示，有
(Eq.7)
两式相减有


(Eq.8)

同理，对公式(Eq.6)上式乘以，下式乘以，消去，表示，有
(Eq.9)
两式相减有


(Eq.10)

合并(Eq.8)和(Eq.10)，得表示浓度的方程组：

调整分母保持一致，方程组为：
(Eq.11)

化成矩阵形式
(Eq.12)
已知，
，。
则

所以公式(Eq.12)，为
(Eq.13)

又因为2X2矩阵的伴随矩阵为主对角元素位置互换，副对角线元素添加符号(解释)，则有

方程(Eq.13)化为
(Eq.14)
如果存在逆矩阵，则根据逆矩阵定义，则有
(Eq.15)

做到这里，感觉不知不觉有回到了起点，还是需要保证可逆，即求解未知数的时候，分母也不能为0。

如果不会做的话，可以在涉及具体的问题的时候，再具体分析，寻找解决的办法。