什么！卷积要旋转180度？！

一看这个标题就会想，这有什么大惊小怪的，可能好多人觉得这是个脑残话题，但我确实误解了两三年……

今天在读《OpenCV算法精解》的时候，发现对两个矩阵做卷积运算的时候，作为卷积算子的矩阵要逆时针旋转180度，这是以前从来没注意过的步骤， 说来惭愧，平时都是直接调用API，忽略了原理，以为卷积就是像很多图上画的，一个卷积核挨着扫描另一个矩阵，结果叠加起来，当初上数字图像处理课的时候也手算过卷积，不知道是老师讲错了还是我记错了，总之一直都没注意到卷积运算其实是「先翻转再平移」。

维基百科中这样描述卷积的物理意义：

在泛函分析中，卷积、叠积、摺积或旋积，是通过两个函数f和g生成第三个函数的一种数学算子，表征函数f与经过翻转和平移的g的乘积函数所围成的曲边梯形的面积。

连续卷积

数学定义是：
函数f和g是定义在Rⁿ上的可测函数，f与g的卷积记做f*g，它是其中一个函数翻转并平移后与另一个函数的乘积的积分，是一个对平移量的函数，也就是：

连续卷积公式（From Wikipedia）

知乎上有一个关于「如何通俗易懂地解释卷积」的问答，有很多解释版本，也都通俗易懂，挺有意思，但是个人认为维基百科的下面这张图用于理解卷积已经足够。特别注意圈住的那句话，对理解卷积的意义很有帮助。

图解卷积（From Wikipedia）

离散卷积

离散卷积（From Wikipedia）

Example

我主要做图像处理，所以用到的是离散卷积。使用python做验证。
下面这个图是我们最常见的卷积运算图：

卷积运算图（来自百度图片搜索）
中间的卷积核，其实是已经逆时针旋转过180度的，即做卷积的两个矩阵其实是[[2, 1, 0, 2, 3], [9, 5, 2,4, 2, 0], [2, 3, 4, 5, 6], [1, 2, 3, 1, 0], [0, 4, 4, 2, 8]]和[[1, 0, -1], [1, 0, -1], [1, 0, -1]]，没有旋转只有乘积求和就不叫卷积运算。

先来两个矩阵，根据公式手动推导一下：

手算卷积

可以发现，只有卷积核旋转180度再扫描，才会和公式推导计算的结果一样，
将I和K矩阵用python做卷积：

python卷积.png
和我们手算的一样。所以自己做卷积的时候，记得「翻转再平移」……或者干脆用公式计算，至少不会错。