数竞小结

• 极限

  * 基础手段：等价无穷小替换(积式运用)、洛必达法则、夹逼定理、泰勒公式
  * 常用手段：
  1. 取对数 (1^∞ ---> exp{v·lim(u-1) })
  2. 导数定义 (函数在x=a处可导；f'(a)存在；形似)
  3. 和式夹逼 --- 合理放缩 / 积分定义
  4. 恒等变形(有理化/裂项累加/裂项累乘)
  5. 麦克劳林公式展开(如 x-ln(1+1/x)~1 ) + 导数定义 + 洛必达
  6. 不等式放缩 + 无穷小 × 有界量 = 无穷小量 
  7. 换元

• 广义积分计算

1.分部积分迭代
2. 遇三角函数积分，分限，注意积分区间

• 多元复合函数偏导数

• 二重积分

1.二重广义积分

• 平面方程

1. 平面束
2. 异面直线间距离

• 不等式证明

1.构造辅助函数，求导 ---> F'(x)>0,F(a)>F(0) ----> f(a)>f(b) `第八届第二大题`

• 反常积分

1. 构造辅助函数
2. 上下限值相等时 得隐藏函数值
3. 考虑进行求导操作

• 无穷级数

  * 求级数和
    * 具体型 
      1. 先积后导/先导后积，得函数项级数和----代入合适x值，得固定函数级数和(注意收敛域) `第一届第七大题`
      2. 分而计之，注意各部分具体收敛域、定义域  `第七届第四大题`
    * 抽象型
    1. 恒等变换(裂项累加)，求(从第1项开始)的部分和 ---- n趋于∞，得无穷级数 `第五届第七大题(具体型)`
  * 证明敛散性
    * 证明收敛性
    1.  比较审敛法/其极限形式
    (1) 结合p级数  `第五届第三大题(抽象型) 第五届第七大题(具体型)`
    2. 部分和有上界(即证明部分和小于某常量)
    (1) 部分和定义 --> 拉格朗日中值 --> 构造函数 `第二届第四大题(1)`
    (2) 恒等变换(差式累加 ---- An、Bn为常量)   `第四届第七大题(1)`
    * 证明发散性
    1. 比较审敛法/其极限形式
    (1) 结合p级数    `第二届第四大题(2)`
    (2) 恒等变换(积式累乘 ---- An/Bn为常量)   `第四届第七大题(2)`
    2. 部分和发散(即证明部分和大于非无穷小量/常量) `第二届第四大题(2)`

• 必考知识点

1. 一阶线性微分方程
2. 泰勒公式/麦克劳林公式
  * 题目条件过少
  * 低-中-高阶函数联系
  * 利用余项，求方程近似解
3. 拉格朗日中值定理 + 牛顿-莱布尼兹公式
  * 题目条件过少
  * 低-高阶函数联系

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