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2022-11-13 一道很有意思的不等式

2022-11-13 一道很有意思的不等式

作者: 天下第二狙 | 来源:发表于2022-11-13 09:44 被阅读0次

已知正数ab满足ab=a+b+3,求ab的最小值

直接移项:a+b=ab-3

由已知可以得到两边都是正数,两边平方,得到:

a^2+2ab+b^2=(ab)^2-6ab+9

这里就需要用到常用的一个操作,用基本不等式把等式变成不等式:

(ab)^2-6ab+9=a^2+b^2+2ab\geq 4ab

移项之后,得到

(ab)^2-10ab+9\geq 0

得到ab\leq 1(舍去)或者ab\geq 9

其中用基本不等式将等式变为不等式的操作还是比较实用的。而且中间一步事实上隐藏了一个条件,就是ab\geq 3.

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