姓名：侯雅昕 学号：22021110253 学院：电子工程学院
【嵌牛导读】各种功率谱性能分析（一）：经典功率谱分析
【嵌牛鼻子】经典功率谱性能分析
【嵌牛提问】什么谱估计方法属于经典功率谱？
【嵌牛正文】
对确定信号，可以用傅立叶变化，进行频谱分析。而随机信号在时域上是无始无终的无限长信号，因此随机信号的能量是无限的，但其功率为有限信号，所以应该用功率信号来描述。然而，功率信号不满足傅里叶变换的狄里克雷绝对可积的条件，因此严格意义上随机信号的傅里叶变换是不存在的。因此，要实现随机信号的频域分析，不能简单从频谱的概念出发进行研究，而是功率谱。
设一平稳零均值随机信号 ，则此随机信号的平均功率为：
谱密度为：
信号的功率谱密度 描述随机信号的功率在频域随频率的分布，反映的是随机信号频率成分几个成分的相对强弱。谱估计就是利用给定的个样本数据估计一个平稳随机信号的功率谱密度。谱估计方法分为两大类：经典谱估计和现代谱估计。经典功率谱估计如周期图法、自相关法等，其主要缺陷是描述功率谱波动的数字特征方差性能较差，频率分辨率低。而现代谱估计的目标都是旨在改善谱估计的分辨率，如自相关法和Burg法等现代普估计频率分辨率较高，也叫高分辨率谱估计。接下来就分别描述经典功率谱估计和现代普估计。
Matlab仿真所用信号：为信号频率f0=0.1
, f1=0.2 ,f2 = 0.3, f3 = -0.1加零均值方差为一的信号。其信号傅立叶变化如下，可以看出此时有一个频率以看不见了，而且各频谱有点混在了一起。
原信号频谱
原信号频谱
说明：画出两张信号频谱图，是为了对比点数不同，采样频率不同时的精度和效果，明显看出，并不是采样频率越高越好，而且点数多了分辨率明显会高很多。
一．经典功率谱估计
经典功率谱估计是截取较长的数据链中的一段作为工作区，而工作区之外的数据假设为0，这样就相当将数据加一窗函数，根据截取的 个样本数据估计出其功率谱。
（1）周期图法
周期图法是根据各态历经的随机过程功率谱的定义进行的谱估计。把功率谱和信号幅频特性的平方结合起来。其具体过程为：取平稳随机信号 的有N个观察值 ，求出其傅里叶变换
然后进行谱估计
周期图法应用比较广泛，主要是由于它与序列的频谱有直接的对应关系，并且可以采用FFT快速算法来计算。但是，统计特征方差差，方差性能差的原因是无法获得按功率谱密度定义中求均值和求极限的运算。分辨率低的原因是在周期图法中，假定延迟窗以外的自相关函数全为0，这不符合实际情况，这也意味着对自相关函数加三角窗，使功率谱与窗函数卷积，从而产生频谱泄露，容易使弱信号的主瓣被强信号的旁瓣所淹没，造成频谱的模糊和失真，因而频率分辨率是较差的。
仿真图如下：
图1周期图法
图2周期图法
说明： 从仿真图可以看到，当仿真的采样频率选得不对时，过大，会使结果出现很大的谬误。此外，当数据长度太大时（图1），谱曲线呈现较大的起伏，但可以看到有四个频率分量存在；当数据长度太小时（图2），谱的分辨率又不好，f1,f2 分不清楚。据此，周期图法不满足一致性估计条件。
(2) 自相关法
自相关法的理论基础是维纳—辛钦定理。先估计相关函数，在经傅立叶变化得到功率谱估计。
对于平稳随机信号来说，其自相关函数是确定性函数，故其功率谱也是确定的。这样可由平稳随机离散信号的有限个离散值求出自相关函数
然后在内对做傅里叶变换，得到功率谱
图3自相关法不加窗128点 M=10
图4自相关法不加窗N=128M=30
图5自相关法不加窗N=2048 M=20 M=10
说明：
（1） 从图3，图4可以看出，当延迟与数据长度之比变小时，如图4可以有估计精度变高。
（2） 图5两幅图与图3和图4相比，精度明显变好了。而且延时变小，只是点数增多了。阶数高起伏剧烈。
（3）经典功率谱估计的性能比较
由以上仿真和比较可得经典谱估计算法性能比较：
(1)周期图法得到的功率谱分辨率最高，但是方差性能最差，功率谱起伏剧烈，容易出现虚假谱峰。
(2)自相关法功率谱比周期图法估计的要平滑，但其分辨率比周期图法低。
(3)方差性能不好，不是真实功率谱的一致估计，且增大时，功率谱起伏加剧。
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