功率谱密度

在频谱分析中幅度和功率是由紧密联系的两个不同的物理量：能量能表述为幅值的平方和，也能表述为功率在时间上的积分；

功率谱密度，是指用密度的概念表示信号功率在各频率点的分布情况，是对随机变量均方值的量度，是单位频率的平均功率量纲；也就是说，对功率谱在频域上积分就可以得到信号的平均功率，而不是能量。能量谱密度是单位频率的幅值平方和量纲，能量谱密度曲线下面的面积才是这个信号的总能量。

于是，功率谱、能量谱、幅值谱之间的紧密关系主要表述为：

能量谱是功率谱密度函数在相位上的卷积，也是幅值谱密度函数的平方在频率上的积分；

功率谱是信号自相关函数的傅里叶变换，能量谱是信号本身傅立叶变换幅度的平方

1Ω的电阻

我们为什么关注一个1Ω的电阻呢？

就是因为它是1，所以在计算中可以省略。

图1 1Ω电阻两端的电压信号x(t)

给定一个1Ω的电阻，其两端电压为V，电流为I，那么在时间T之内，电阻消耗的能量Er为：

那么电阻在单位时间内消耗的能量，我们称之为瞬时功率Pr

看到没，平方！这就是很多教科书求功率能量时候，为什么一上来，就喜欢平方！

现在我们把电压换成普通信号x(t)，x(t)随着时间t变化。

那么现在信号的功率为Px

在时间T内，信号的能量可以表示为Ex

把这里时间变化区间改成∞，也就是积分上下限，改为为-∞到+∞，可以定义为一般信号的能量E：

如果E存在为一个正的有限值，我们把x(t)叫做能量信号。

现在定义信号x(t)的平均功率为P，能量除以时间就是功率

若第一个极限E存在，即称为能量信号;

若第二个极限P存在，则称为功率信号。

这个2个公式适用与普遍的信号的，一个不存在，就试试另外一个！

一个信号可以既不是能量信号，也不是功率信号，但不可能既是能量信号，又是功率信号。

在实际的通信系统中，信号都具有有限的发射功率、有限的持续时间，因而具有有限的能量E。但是，若信号的持续时间非常长，例如广播信号，则可以近似认为它具有无限长的持续时间。此时，认为定义的信号平均功率是一个有限的正值，但是其能量近似等于无穷大。我们把这种信号称为功率信号。

能量与功率信号举例

首先先看阶跃信号与绝对指数信号，见图2

图2 左边为阶跃信号，右边为绝对值指数信号

阶跃信号u(t)

根据能量与功率公式，可以计算出

能量E无穷大，功率P为1/2，所以阶跃信号为功率信号。

“绝对”指数信号e^|2t|

根据能量与功率公式，可以计算出

能量E为1/2，功率P为0，所以绝对指数信号为能量信号。

复指数信号e^(-jwt)

根据能量与功率公式，可以计算出

功率P为1，能量E为无穷大，所以复指数信号为功率信号。

图3 复指数信号的三维图

现在我们来自己动手算一个信号f(t)=e^(-2t)，它是什么信号呢？

图4 指数函数e^-2t

功率信号与能量信号小结

对于无限长时间的周期信号，均为功率信号；

对于非周期信号，再分为三种情况，见图5所示

图5 能量信号与功率信号的常见形式，来源网络

功率信号的频谱

功率信号，尤其是周期性的功率信号，它的频谱就是我们熟悉的傅里叶级数。

设一个周期性功率信号s(t)的周期为T0，则将其频谱(frequency spectrum)函数定义为下式积分变换。其中f0=1/T0，n为整数，C(nf0)表示C是nf0的函数，并简记为Cn。

图6 功率信号的频谱

当n=0时，C0表示频率为0的分量，即是直流分量。

上述的公式同样适用于非周期的功率信号。

对于周期性的功率信号来说，其频谱函数Cn是离散的，只在f0的整数倍上取值。由于n可以取负值，所以在负频率上Cn也有值。

通常Cn为双边谱。

图7 周期信号的频谱

双边谱中的负频谱仅在数学上有意义。在物理上，并不存在负频率。

但是我们可以找到物理上实信号的频谱和数学上的频谱函数之间的关系：

C-n =Cn*

即负频谱和正频谱的模是偶对称的，相位是奇对称的。

对于非周期的功率信号，可将其周期看作是无穷大，然后再用图X中的公式去计算。

能量信号的频谱

能量信号的频谱，就是其傅里叶变换。

设一个能量信号为s(t)，则将它的傅里叶变换S(f)定义为它的频谱密度(frequencuy spectrum density)

图8 能量信号的频谱密度

能量信号的频谱密度S(f)和周期性功率信号的频谱Cn的主要区别：

S(f)是连续谱，Cn是离散谱

S(f)的单位是V/Hz,Cn的单位是V

能量信号的能量有限，并分布在连续频率轴上，所以每个频率段f上信号的幅度是无穷小；只有在一小段频率间隔df上才有确定的非零振幅。

功率信号的功率有限，但能量无限，它在无限多的离散频率点上有确定的非零振幅。

一般，讨论能量信号的问题时，频谱密度也会常常成为频谱。

频谱密度和频谱这两个概念，在一般的教材上，不做严格区分！

能量信号的能量谱

能量是守恒的，不会管你变换来、变换去。所以，不管是在时域还是频域，能量守恒。

这也是巴塞伐尔定理，见图X中E和ET的公式

能量信号s(t)，其傅里叶变换为S(f)。

在频率轴上取一小块频率△f，然后|S(f)|^2△f就是这一块频率对应的能量。

那么在频率轴f上的积分，就是信号的能量E。见图9的上半部分。

图9 能量信号的能量谱密度

G(f)就是能量谱密度。

如果信号是能量信号，通过傅里叶变换，就很容易分离不同频域分量所对应的能量，频率f对应的能量为: df = |X(f)|²d(f)，对f积分就能得到信号的总能量，由此， |X(f)|² 就定义为能量谱密度，也常简称为能量谱，意为能量在某一频率上的分布集度或，量纲是J/Hz 。

功率信号的功率谱密度

由于功率信号具有无穷大的能量，所以按照能量E的公式，这个积分是不存在的。

但是我们可以把这个信号截断成小块。

例如，把信号s(t)截断成一个截短信号sT(t),-T/2<t<T/2。

这样sT(t)就是一个能量信号了，我们利用傅里叶变换可以求出其能量谱密度|ST(f)|^2。

根据巴塞伐尔定理，我们可以定义功率谱密度(PSD，power spectrum density)

图10 功率信号得到功率谱密度

图10中P(f)就是定义的功率谱密度。

功率谱密度在频率轴上积分，T趋向无穷大，就是信号的功率。

有上述的内容可知，功率信号一般为周期信号，也是非周期的形式。

功率信号具有周期性

如果这个功率信号恰巧是周期信号。

生活中最常见。

可以将T选作等于信号的周期T0，并且用傅里叶级数代替傅里叶变换，求出信号的频谱

图11 巴塞伐尔定理

Cn为此周期信号的傅里叶级数的系数。若f0是此信号的基波频率，则Cn是此信号的第n此谐波的振幅；

|Cn|^2为第n次谐波的功率，可以称为信号的（离散）功率谱。

注意，这里是功率谱，而不是功率谱密度！

如果还想用功率谱密度表示此离散谱，可以利用δ函数的性质

图12 周期性功率信号的功率与功率谱密度