功率谱分析（二）现代功率谱分析

姓名：侯雅昕   学号：22021110253   学院：电子工程学院

【嵌牛导读】各种功率谱性能分析（二）：现代功率谱分析

【嵌牛鼻子】现代功率谱性能分析

【嵌牛提问】什么谱估计方法属于现代功率谱？

【嵌牛正文】

二． 现代功率谱估计

由以上仿真得，经典功率谱估计方法的方差性能差，分辨率低。现代谱估计技术的目标都是旨在努力改善谱估计的分辨率。参数模型法是现代谱估计的主要内容，参数模型主要分为AR模型、MA模型和ARMA模型。由于AR模型与同阶次的线性预测相同，MA模型属于非线性模型，不容易求解，因此本报告中现代功率谱估计的仿真基于AR模型，先进行Levinsion-Durbin递推算法介绍，然后进行各方法的仿真。

1.

Levinsion-Durbin递推算法介绍

用线性方程组的常用算法（如高斯消元法）求解Yule-Walker方程需要运算量的数量级为 ，但若利用系数矩阵的对称性和Toeplitz性质，则可以形成一些高效算法，Levinsion-Durbin算法是其中最著名、应用最广泛的一种，这种算法的运算量数量级为，这是一种按阶次进行的递推算法，即首先以和模型参数作为初始条件，计算模型参数；然后根据这些参数计算模型的参数，直到计算出的模型参数为止。这样当整个迭代计算结束后，不仅求得了所需要的阶AR模型的参数，同时还得到了所有各低阶模型的参数。

K阶Yule-Walker方程：

参数为，其扩大方程为

矩阵运算：

利用系数矩阵 的特点，将扩大方程的行倒序，同时列也进行倒序，得到“预备方程”：

将待求解的k+1阶Yule-Walker方程的解表示成扩大方程的解和预备方程的解的线性组合形式：

或者           式中，用待定系数法，称为反射系数。上式各项都右乘以k+1阶系数矩阵，得到：

由扩大方程的第一个方程可以求出：

把以上各式子的模型参数代入到公式中，即可计算出功率谱估计值：

若，则上式中在时，应取。

（1）自相关法

假定观察到得数据为，而对于无法观察到得区间（即），的样本假定为0，观测数据区间之外的数据为0，在均方误差意义下使得数据的预测误差功率最小。由于自相关矩阵 是Toeplitz矩阵，而且又为正定的，故可利用Levinson-Durbin递归算法高效求解，得到AR模型参数。

仿真图如下：

分析说明：

(1) 图11、12是用自相关法求出的AR谱曲线，阶次分别等于10，和20。可以看出，在点数较低时（图11），分辨率和检测能力均不好。当N=2048时，10阶与20阶的区别，和处的两个正弦刚刚可以分开，在和处的两个正弦也可以检出。因此必须通过提高阶次来达到分辨出间隔较小的频率点的效果。

 (2) AR模型的自相关法等效于对前向预测的误差序列前后加窗，加窗的结果是使得自相关法的分辨率降低。图11与12说明数据越短，分辨率越不好。

（2）协方差法

协方差法与自相关法的区别主要在于预测误差功率求和式的上下限取得不同。由于协方差法对于观察区间外样本未假定为0，故预测误差功率表达式中的总是落在观察区间中，为此预测误差功率的求和上下限必须在之间。但由此得到的自相关矩阵是对此的半正定矩阵，不具有Toeplitz性质，故不能采用Levinson-Durbin递归算法求解，因此得到的AR模型可能不稳定。

仿真结果：

结果说明：

[if !supportLists](1) [endif]图13与图14协方差法，当阶次一致时，阶次低分辩率比较低，阶次高一点，点数多，阶次一样，阶次20的时候，分辨率已经非常好，但当阶次过高，会引起很多起伏，分辨率反而不好，随着借此的升高，其他处谱线起伏更为剧烈。

（3） Burg法

Burg算法是较早提出的建立在数据基础上的AR系数求解的有效算法。它基于最小化前向后向预测误差的同时满足Levinson-Durbin递归。对比其它的AR估计方法，Burg法避免了对自相关函数的计算，改而直接估计反射系数。

对于短数据的估计，Burg法求出的AR功率谱密度估计非常逼近于真值。另外，它能确保产生一个稳定的AR模型，并且能高效计算。

Burg法由于具有上述优点，所以分辨率比自相关法高，但对于混有白噪声的正弦信号，有时可能会出现谱线分裂现象。

仿真结果：

结果分析：

[if !supportLists](1)     [endif]图16是2048点的Burg法，可以看出确实比前面的方法好，20阶时就已经达到很好的分辨率了，10阶还是不行的。 随着阶次的升高，起伏会变得将剧烈起来。

[if !supportLists](2)     [endif] 图17是128点的Burg法，可以看出也确实比前面的方法好，20阶时就已经达到很好的分辨率了。 随着阶次的升高，起伏会变得将剧烈起来。

三．总结

本报告首先讨论了经典功率谱估计中周期图法和自相关法两种主要方法的定义、算法及仿真结果与估计性能的分析得到估计时数据长度大一点时，同等阶次情况下，分辨率会提高很多。然后讨论了现代功率谱估计中的主要方法：参数化模型法谱估计，主要介绍了Levinsion-Durbin递推算法，后面简要介绍并仿真了自相关法，协方差法，Burg法。对所有的谱估计算法，报告均给出了Matlab程序、仿真结果及相应的分析。最后，因为时间紧迫，我不能做出更多的仿真，但日后会基于今天的基本知识的仿真做出深入的研究，另外，由于先前采用的采样频率10太高，因为所要估计的频率太低，只有0.1的数量级，当采用过大采样频率时，会得出错误的结论，后来就因为觉得奇怪，找了很长时间错误，最后才发现是采样频率的问题。以后选择采样频率，还是得小心的了。文中可能还有错，还望老师批评指正。