离散时间傅里叶变换

作者: seniusen | 来源:发表于2018-11-03 16:17 被阅读141次

离散傅里叶变换 DFT
快速傅里叶变换——理论
OpenCV 离散傅里叶变换
离散时间傅里叶变换
离散时间傅里叶变换
基2-FFT简记
OpenCV C++（十）----傅里叶变换
快速傅里叶变换FFT(Fast Fourier Transfor
快速傅里叶变换和离散傅里叶变换
Python科学计算——复杂信号FFT

1. 离散时间傅里叶变换的导出

针对离散时间非周期序列，为了建立它的傅里叶变换表示，我们将采用与连续情况下完全类似的步骤进行。

考虑某一序列 $x[n]$ ，它具有有限持续期；也就是说，对于某个整数 $N_1$ 和 $N_2$ ，在 $-N_1 \leqslant N \leqslant N_2$ 以外， $x[n]=0$ 。下图给出了这种类型的一个信号。

由这个非周期信号可以构成一个周期序列 $\tilde x[n]$ ，使 $x[n]$ 就是 $\tilde x[n]$ 的一个周期。随着 $N$ 的增大， $x[n]$ 就在一个更长的时间间隔内与 $\tilde x[n]$ 相一致。而当 $N\to \infty$ ，对任意有限时间值 $n$ 而言，有 $\tilde x[n]=x[n]$ 。

现在我们来考虑一下 $\tilde x[n]$ 的傅里叶级数表示式

$\tag{1}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)}a_ke^{jk{(2\pi/N)}n}$

$\tag{2}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=(N)} \tilde x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}$

因为在 $-N_1 \leqslant N \leqslant N_2$ 区间的一个周期上 $\tilde x[n]=x[n]$ ，因此我们将上式的求和区间就选在这个周期上

$\tag{3}a_k = \frac{1}{N} \sum_{n=-N_1}^{N_2} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n} = \frac{1}{N} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} x[n]e^{-jk{(2\pi/N)}n}$

现定义函数

$\tag{4}X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}$

可见这些系数 $a_k$ 正比于 $X(e^{j\omega})$ 的各样本值，即

$\tag{5}a_k = \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})$

式中， $\omega_0=2\pi/N$ 用来记作在频域中的样本间隔。将（1）和（5）结合在一起， $\tilde x[n]$ 就可以表示为

$\tag{6}\tilde x[n] = \sum_{k=(N)} \frac{1}{N}X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n} = \frac{1}{2\pi}\sum_{k=(N)} X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}\omega_0$

随着 $N\to \infty$ ， $\tilde x[n]$ 趋近于 $x[n]$ ，式（6）的极限就变成 $x[n]$ 的表达式。再者，当 $N\to \infty$ 时，有 $\omega_0\to 0$ ，式（6）的右边就过渡为一个积分。

右边的每一项都可以看作是高度为 $X(e^{jk\omega_0})e^{jk\omega_0n}$ 宽度为 $\omega_0$ 的矩形的面积。而且，因为这个求和是在 $N$ 个 $\omega_0=2\pi/N$ 的间隔内完成的，所以总的积分区间总是有一个 $2\pi$ 的宽度。式（6）和式（4）就分别变成

$\tag{7}\boxed{ x[n]=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega})e^{j\omega n}d\omega}$

$\tag{8}\boxed{X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x[n]e^{-j\omega n}}$

（7）式和（8）式被称为离散时间傅里叶变换对。函数 $X(j\omega)$ 称为 $X(t)$ 的离散时间傅里叶变换，也通常被称为频谱。

例 1
例 2

2. 周期信号的傅里叶变换

考虑如下信号
$\tag{9} x[n] = e^{j\omega_0 n}$

其傅里叶变换是如下的冲激串

$\tag{10}X(e^{j\omega}) = \sum_{l=-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0-2\pi l)$

为了验证该式，必须求出其对应的反变换

$\tag{11} \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega = \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} \sum_{l=-\infty}^{+\infty}2\pi\delta(\omega-\omega_0-2\pi l) e^{j\omega n}d\omega$

注意，在任意一个长度为 $2\pi$ 的积分区间内，在上式的和中真正包括的只有一个冲激，因此，如果所选的积分区间包含在 $\omega_0+2\pi r$ 处的冲激，那么

$\tag{12} \frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} X(e^{j\omega}) e^{j\omega n}d\omega = e^{j(\omega_0+2\pi r) n} = e^{j\omega_0 n}$

现在考虑一周期序列 $x[n]$ ，周期为 $N$ ，其傅里叶级数为

$\tag{13} x[n] = \sum_{k=(N)} a_k e^{jk(2\pi/N)n}$

这时，傅里叶变换就是

$\tag{14} X(e^{j\omega}) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} {2\pi} a_k \delta (\omega-\frac{2\pi k}{N}) =\sum_{l=-\infty}^{+\infty} \sum_{k=(N)}{2\pi} a_k \delta (\omega - k\omega_0 - 2\pi l)$

这样，一个周期信号的傅里叶变换就能直接从它的傅里叶级数系数得到。

3. 离散时间傅里叶变换性质

为了方便，我们将 $x[n]$ 和 $X(e^{j\omega})$ 这一对傅里叶变换用下列符号表示

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega})$

3.1. 离散时间傅里叶变换的周期性

$\tag{15} \boxed{ X(e^{j(\omega+2\pi)}) = X(e^{j\omega})}$

3.2. 线性

若

$x_1[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X_1(e^{j\omega})$

和

$x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X_2(e^{j\omega})$

则

$\tag{16} \boxed{ ax_1[n]+bx_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} aX_1(e^{j\omega})+bX_2(e^{j\omega})}$

3.3. 时移与频移性质

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega})$

则

$\tag{17} \boxed{ x[n-n_0] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} e^{-j\omega n_0}X(e^{j\omega})}$

$\tag{18} \boxed{ e^{j\omega_0 n}x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j(\omega-\omega_0)})}$

3.4. 共轭及共轭对称性

若

$x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{j\omega})$

则

$\tag{19} \boxed{ x^*[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X^*(e^{-j\omega})}$

共轭性质就能证明，若 $x(t)$ 为实函数，那么 $X(j\omega)$ 就具有共轭对称性，即

$\tag{20} \boxed{ X(e^{j\omega}) = X^*(e^{-j\omega}) \qquad [x[n] 为实]}$

这就是说，离散傅里叶变换的实部是频率的偶函数，而虚部则是频率的奇函数。

3.5. 差分与累加

$\tag{21} \boxed{ x[n]-x[n-1] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} (1-e^{-j\omega}) X(e^{j\omega})}$

$\tag{22} \boxed{ \sum_{m=-\infty}^{n}x[m] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} \frac{1}{1-e^{-j\omega}} X(e^{j\omega})+\pi X(e^{j0}) \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(\omega-2\pi k)}$

3.6. 时间反转

$\tag{23} \boxed{ x[-n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{-j\omega})}$

3.7. 时域扩展

若令 $k$ 是一个正整数，并且定义

$\tag{24} x_{(k)}[n] = \begin{cases} x[n/k] &\text 当\space n \space为\space k\space的整数倍 \\ 0, &\text 当\space n \space不为\space k\space的整数倍 \end{cases}$

$\tag{25} \boxed{ x_{(k)}[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} X(e^{jk\omega})}$

3.8. 频域微分

$\tag{26} \boxed{nx[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} j\frac{dX(e^{j\omega})}{d\omega} }$

3.9. 帕斯瓦尔定理

$\tag{27} \boxed{\sum_{-\infty}^{+\infty}|\space x[n] \space |^2 =\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}|X(e^{j\omega})|^2d\omega }$

3.10. 卷积性质

$\tag{28} \boxed{y[n]=h[n]*x[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(e^{j\omega})=H(e^{j\omega})X(e^{j\omega})}$

两个信号在时域内的卷积就等于它们傅里叶变换的乘积。

3.11. 相乘性质

$\tag{29} \boxed{y[n]=x_1[n]x_2[n] \overset{{\displaystyle {\mathcal {F}}}}{\leftrightarrow} Y(e^{j\omega})=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi}X_1(e^{j\theta})X_2(e^{j(\omega-\theta)})d\theta}$
两个信号在时域内的相乘就对应于频域内的周期卷积。

4. 傅里叶变换性质和基本傅里叶变化列表

5. 离散时间傅里叶变换和连续时间傅里叶级数之间的对偶型

获取更多精彩，请关注「seniusen」!

离散傅里叶变换 DFT
离散傅里叶变换 DFT 周期离散信号（离散时间傅里叶变换：非周期，离散；傅里叶变换：非周期，连续；傅里叶级数：...
快速傅里叶变换——理论
本文公式较多，欢迎大家勘误 1.周期离散信号的傅里叶变换离散信号傅里叶变换的公式如下所示：离散傅里叶变换的原理...
OpenCV 离散傅里叶变换
离散傅里叶变换（DFT）定义离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，缩写为DFT...
离散时间傅里叶变换
1. 离散时间傅里叶变换的导出针对离散时间非周期序列，为了建立它的傅里叶变换表示，我们将采用与连续情况下完全类似...
离散时间傅里叶变换
回顾离散时间周期信号傅里叶级数离散时间非周期信号傅里叶变换考虑某一序列具有有限持续期，即在以外。这个非周期信号...
基2-FFT简记
快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种可在时间内完成的离散傅里叶变换（Dis...
OpenCV C++（十）----傅里叶变换
10.1、二维离散的傅里叶（逆）变换 10.1.1、原理二维离散的傅里叶变换可以分解为一维离散的傅里叶变换：图...
快速傅里叶变换FFT(Fast Fourier Transfor
快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform,FFT)用来计算离散傅里叶变换（Discrete F...
快速傅里叶变换和离散傅里叶变换
快速傅里叶变换（FFT）离散傅里叶变换（DFT）基础理论是傅里叶变换的分离形式，和采样定理（香菜定理）采样定...
Python科学计算——复杂信号FFT
FFT (Fast Fourier Transform, 快速傅里叶变换) 是离散傅里叶变换的快速算法，也是数字信...